Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą a i będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza rzut na płaszczyznę oraz dla niech

Podzielmy powierzchnię na trzy takie części , że:

,

przy czym oznacza brzeg obszaru .

Dla trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla wektor normalny ma postać

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi Analogicznie dla powierzchni wektor normalny wynosi

Weźmy składową pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

Dalej stosując Twierdzenie Newtona-Leibniza otrzymujemy:

Dowody dla składowych i są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości otoczonej powierzchnią Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać

gdzie jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni na powierzchni a jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.