Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego .

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza[edytuj]

Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą , a i będą funkcjami posiadającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze . Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni .

Dowód[edytuj]

Niech dla - rzutu na płaszczyznę .

Podzielmy powierzchnię na trzy części takie, że:

(gdzie oznacza brzeg obszaru )

Ale dla trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla wektor normalny ma postać . Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni . Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi . Analogicznie dla powierzchni wektor normalny wynosi .

Weźmy składową pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

Dalej stosując Twierdzenie Newtona-Leibniza otrzymujemy:

Dowody dla składowych i są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Uwagi[edytuj]

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej:

Niech zatem będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości :

gdzie jest wektorem powierzchni. Można to zapisać prościej:

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też[edytuj]