Twierdzenie Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise'a Pascala w wieku 16 lat[1].

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Twierdzenie[edytuj]

Niech dane będzie sześć punktów leżących na krzywej stożkowej, zaś oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych oraz , oraz , oraz . Wówczas punkty współliniowe.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

Uwagi[edytuj]

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

Uogólnienia[edytuj]

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Niech dane będzie dla wielokąta o bokach wpisanego w krzywą stożkową punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.

Przypisy

  1. Jacques Attali Pascal, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 2004, ISBN 83-06-02935-6, s. 53