Twierdzenie Peano

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Peano - w teorii równań różniczkowych zwyczajnych, twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego dla ciągłego odwzorowania podzbioru I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n. Opublikowane przez Giuseppe Peano w 1886 z błędnym dowodem. W 1890 dowód został przeprowadzony poprawnie przy użyciu metod aproksymacyjnych (zob. metoda Eulera). Obecnie, twierdzenia dowodzi się przy użyciu twierdzenia Schaudera o punkcie stałym i kryterium zwartości Ascoliego-Arzeli.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech I=[a,b] i niech f\colon I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n. Jeżeli istnieje kula k(\eta, r)\subset \mathbb{R}^n taka, że f|_{I\times k(\eta, r)} jest ciągłe, to istnieje \alpha>0 takie, że zagadnienie Cauchy'ego:

\left\{\begin{array}{l}y^\prime=f(y,x)\\ y(\tau)=\eta\end{array}\right.

ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale (\tau-\alpha, \tau+\alpha).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.