Twierdzenie Phragména-Lindelöfa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Phragména-Lindelöfa – niech dana będzie funkcja ciągła f(z) o argumentach zespolonych oraz ograniczona dla argumentów zawartych w przedziale i holomorficzna wewnątrz tegoż przedziału. Jeśli dla i istnieje takie M, że zachodzi , to .

Jeżeli ponadto to f jest funkcją stałą.

Dowód[edytuj]

  • Załóżmy, że jednostajnie dla b dążącego do dla . Niech . Wtedy . Niech będzie wnętrzem prostokąta wyznaczonego przez zbiór:

Jeżeli funkcja f jest stała, to twierdzenie jest w oczywisty sposób prawdziwe. W przeciwnym przypadku f nie jest stała w , wtedy nie może być stała w P, i na podstawie zasady maksimum f nie osiąga kresu górnego w P. Ponieważ |f(z)| jest ciągła w Pr, to |f(z)| osiąga swój kres górny w Pr. Punkt w którym osiąga ona swój kres górny, nie może należeć do P, a ponieważ na bokach prostokąta Pr, więc w P, w szczególności .

  • Niech dla .

będzie funkcją. Jest ona ciągła oraz ograniczona i holomorficzna w . Dodatkowo dla i zachodzi:

dla .

Ponadto, jeżeli W jest stałą wartością ograniczającą f(z) w , to przy jednostajnie dla zachodzi:

.

A więc spełnia założenia pierwszej części dowodu.

Jeżeli , to . Przy . Jeżeli , to biorąc otoczenie G' punktu q, leżące wewnątrz , otrzymuje się dla . Po zastosowaniu zasady maksimum dla obszaru G otrzymuje się wniosek, że f jest stała w G. Ponieważ , więc f jest stała w .