Twierdzenie Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych . Wówczas jeżeli

,

to

,

lub równoważnie

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że

.

Niech . Wówczas . Mamy zatem

[1].

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej (jeśli , to

).

Komentarz[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Różnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.