Twierdzenie Rademachera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza[1]. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.[2]

Twierdzenie[edytuj]

Jeżeli funkcja f: UR spełnia w zbiorze otwartym URn warunek Lipschitza ze stałą M > 0

to posiada różniczkę prawie wszędzie w U.

Uwagi[edytuj]

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze R) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej Rn. Wynika to z faktu, że funkcja f: URn spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa fk:UR funkcji f=(f1,...,fn) spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała M > 0 nie musi być globalna dla całego zbioru U.

Przypisy

  1. Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa, (1976) s. 160.
  2. William P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions', in Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.