Twierdzenie Rademachera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza[1]. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.[2]

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f: UR spełnia w zbiorze otwartym URn warunek Lipschitza ze stałą M > 0

to posiada różniczkę prawie wszędzie w U.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze R) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej Rn. Wynika to z faktu, że funkcja f: URn spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa fk:UR funkcji f=(f1,...,fn) spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała M > 0 nie musi być globalna dla całego zbioru U.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa, (1976) s. 160.
  2. William P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions', in Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.