Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’atwierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a tzn. spełniającą nierówność

Wówczas transformata Fouriera

bądź innymi słowy: obraz należy do podprzestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni czyli wówczas:

(1)

gdzie

Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym i boku o długości równej Zbiór będzie oznaczany dalej jako

Fakt, że wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to a zatem:

skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:

(2)

Niech będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast przybliżeniem takim, że ponadto:

gdzie jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w

Zastosowana metoda aproksymacji przez daje pozytywny rezultat, gdyż standardowa konstrukcja pokrycia zbioru mierzalnego opiera się na przedziałach, których funkcje charakterystyczne są nieciągłe na zbiorze miary zero taka sama sytuacja zajdzie zatem również w przypadku Można dokonać podziału na przeliczalną liczbę obszarów z których każdy jest się w stanie pokryć przy pomocy ciągu z odpowiednio dopasowaną deltą. Ostatecznie jego wyrazy jako zbiór równoliczny z podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (przeliczalna liczba obszarów to też przeliczalna liczba oddzielnych sum) są przeliczalne.

Stosując zależność (2), można obliczyć granicę iterowaną:

na mocy nierówności trójkąta:

ponowne skorzystanie z nierówności trójkąta pozwala na wyrugowanie po prawej stronie, zatem:

stąd:

pamiętając, że zbiory i nie mają ze sobą części wspólnej:

Równość powyżej jest naturalną konsekwencją iż na mocy przyjętych założeń wobec czego różnica symetryczna zbiorów natomiast miara Lebesgue’a będzie różnicą miar. Uwzględniając, że jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę:

(3)

Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako:

(4)

zaś samą funkcję przedstawić wyrażeniem:

gdzie zaś

Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż powoduje, że co pozwala skorzystać z zależności (3) a zatem:

stosując ponownie nierówność trójkąta:

więc:

Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego funkcja a także, iż oraz zależność (4):

(5)

Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością do przestrzeni oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu

Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:

gdzie zaś Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów i prowadzi do wniosku, że funkcje i muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest ponadto:

więc co pozwala mi na skorzystanie z zależności (5) a zatem:

(6)

Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem (1). Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością oraz Ponadto:

wobec czego dzięki czemu można użyć zależności (6), więc:

co też należało wykazać. Zachodzenie całkowalności w sensie Riemanna, jest możliwe tylko w przypadku zachodzenia całkowalności w sensie Lebesgue’a, zatem odrębny dowód nie jest konieczny, gdyż prowadzi do identycznego rezultatu. Istnieje całkiem spora grupa funkcji z przestrzeni L1, dla których granica (1) w sensie R-całki nie istnieje, czego przykładem jest chociażby co nie jest wynikiem, który powinno się traktować jako miarodajny, gdyż dowolny zbiór przeliczalny można pokryć sumą o postaci gdzie może być dowolnie bliski zeru, natomiast funkcja jest zazwyczaj bijekcją. Czuje się tutaj jednocześnie wyraźny sens istnienia nieprzeliczalności, gdyż w przypadku policzalności zbioru wszystko byłoby skomasowane w dokładnie jednym punkcie, czyli nie miałoby sensu.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • W języku rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie to można wyrazić następująco:
    Jeżeli jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym (lub: z wartością oczekiwaną), to jej funkcja charakterystyczna dąży do zera:
  • Jeżeli nośnik to teza zachodzi również dla transformaty Laplace’a, tj.
  • Istnieje również wersja dla szeregów Fouriera:
    Jeśli jest funkcją całkowalną (w sensie Lebesgue’a) na przedziale, to współczynniki Fouriera przy wystarczy rozszerzyć przyjmując 0 poza wspomnianym przedziałem, a następnie zastosować twierdzenie dla całej prostej.
  • Tezę można uogólnić na wielowymiarowe przestrzenie euklidesowe: jeżeli to wystarczy przyjąć