Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Riemannatwierdzenie autorstwa Berharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

Twierdzenie[edytuj]

Niech

będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg jest warunkowo zbieżny. Ponadto, niech M będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja σ zbioru liczb naturalnych, że

Istnieje również taka permutacja σ, że

.

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

Dowód[edytuj]

Niech , będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do odpowiednio z dołu i z góry, tzn. i (można przyjąć oraz ). Oznaczmy ponadto

.

Zauważmy, że ciąg powstaje z ciągu przez zastąpienie wyrazów zerami. Analogicznie, ciąg powstaje z ciągu przez zastąpienie wyrazów ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów zerami. Oczywiście wszystkie wyraz , są nieujemne, a szeregi , są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg , co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg , gdyż .

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu przez , a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu ). Wtedy szeregi oraz są równe szeregom oraz z dokładnością do wyrazów równych , a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne oraz w taki sposób, aby

i .

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów , . Następnie dla danych liczb , określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby , , tak aby

oraz

.

Otrzymujemy w ten sposób szereg

(*) ,

który jest szeregiem powstałym z przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie przez . Zauważmy ponadto, że , gdy na mocy zbieżności szeregu . Ponieważ , to , tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (, gdy ). To kończy dowód.

Przypadek jest całkowicie analogiczny.

Przykład[edytuj]

Szereg

,

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

,

jak i szereg składników ujemnych są rozbieżne do .

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez . Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

,

a następnie pomnożyć wszystkie przez otrzymując

.

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

.

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

Linki zewnętrzne[edytuj]