Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Riesza-Skorochodatwierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Ustalmy przestrzeń metryczną i niech:

σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni
– przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni w z normą supremum.

Funkcjonał liniowy nazywamy nieujemnym, gdy dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy nieujemny funkcjonał liniowy jest ciągły, oraz
  • Jeżeli jest miarą skończoną, to funkcjonał dany wzorem

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek Skorochoda[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego istnieje taki zbiór zwarty że

Twierdzenie Riesza-Skorochoda[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara że

dla

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów że

dla