Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: inne twierdzenia Riesza.

Twierdzenie Rieszatwierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zaś będzie przestrzenią sprzężoną do Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego istnieje jeden i tylko jeden element spełniający dla wszystkich tożsamość

Ponadto odwzorowanie dane wzorem jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

Dowód[edytuj]

W dalszej części oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem dla każdego

Jeżeli jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego dla wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie dane wzorem jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej jest ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że na podstawie izomorfizmu skonstruowanego niżej.

Istnienie
Dla wystarczy wziąć i wtedy dla każdego niech więc wtedy jest właściwą podprzestrzenią Ponieważ jest ciągły, to zbiór jest domknięty[1][2]. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że
a skoro to a zatem można znaleźć taki element dla którego Ponieważ to dla każdego zachodzi
gdyż na mocy liniowości funkcjonału dlatego
a stąd
aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć gdzie oznacza sprzężenie zespolone skalara
Jednoznaczność
Niech będą dwoma elementami, które dla każdego spełniają
wówczas, z liniowości, dla każdego biorąc otrzymuje się co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy czyli
Izometryczność
Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że
a więc
Jeżeli to czyli w przeciwnym przypadku dla otrzymuje się
co daje
Antyliniowość
Antyliniowość odwzorowania wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:
Jeżeli jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Z definicji ciągłości (przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte; zatem z dualności analogiczne stwierdzenie dotyczy zbiorów domkniętych) wynika, że jest domknięty jako przeciwobraz zbioru jednoelementowego (przestrzenie Hilberta są Hausdorffa, które są przestrzeniami ).
  2. Stwierdzenie to można również dowieść korzystając z ogólniejszego twierdzenia dla przestrzeni unitarnych i ograniczonych operatorów liniowych (w przestrzeniach Hilberta, które są unitarne, ciągłe operatory liniowe są równoważne ograniczonym). Twierdzenie: Niech będą przestrzeniami unitarnymi, będzie ograniczonym operatorem liniowym, zaś oznacza ciąg elementów Wówczas pociąga a jądro jest zbiorem domkniętym. Dowód: Pierwsza część twierdzenia wynika z oszacowania Jeżeli to (z charakteryzacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych) można wybrać ciąg elementów zbieżny do skoro i ponieważ dla wszystkich to również co oznacza