Twierdzenie Rolle’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rolle's theorem.svg

Twierdzenie Rolle’atwierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma pomiędzy nimi punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru.

Twierdzenie to opublikował (dla wielomianów) francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.

Wersja standardowa[edytuj]

Niech będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym różniczkowalną na przedziale otwartym Wówczas jeżeli to istnieje taki punkt należący do przedziału otwartego że

Z tej wersji twierdzenia Rolle’a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, którego twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym.

Dowód[edytuj]

Jeżeli to dla każdego Gdy nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt dla którego zachodzi

lub

Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).

Określona na przedziale zwartym funkcja ciągła na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt że

dla

Z założenia, że istnieje wartość większa od wynika, że tzn. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji w jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

Uogólnienia[edytuj]

Niech będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a wtedy . Punkt można zapisać jako gdzie

Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać:

Jeśli
,
to istnieje punkt dla którego

Rezygnacja z warunku czyli prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a:

Istnieje taki punkt , który spełnia tożsamość

Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że:

Istnieje taki punkt , dla którego zachodzi:
gdzie o funkcji zakłada się, by była razy różniczkowalna.

Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]