Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Dowód twierdzenia[edytuj]

Załóżmy, że jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie jest ciągłe. Ponieważ zbiór jest zwarty, to dla każdego istnieje skończona -sieć: Dla każdego zdefiniujmy funkcję

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że gdzie oznacza otoczkę afiniczną zbioru i zdefiniujmy funkcję wzorem

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja określona wzorem jest ciągła. Zbiór jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt , że Ponieważ

to

gdyż dla każdego mamy

Zatem Ze zwartości zbioru wynika, że granica jest elementem zbioru , a z ciągłości funkcji - to, że jest ona puntem stałym funkcji

Uogólnienia[edytuj]

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

  • Załóżmy, że jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja jest ciągła i jest zbiorem zwartym. Wtedy ma punkt stały w zbiorze

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o , że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

  • (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. przy dla pewnej stałej . Wówczas posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym . Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

Zastosowania[edytuj]

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

  • o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też[edytuj]

Twierdzenie Banacha o kontrakcji