Twierdzenie Schreiera

Twierdzenie Schreiera – twierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.

Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.

Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).

Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).

Twierdzenie

Niech

$E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G\qquad (g)$

oraz

$E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G\qquad (h)$

oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy $G$ ($E$ oznacza podgrupę trywialną).

Wówczas istnieją równoważne ciągi $(g'),(h')$ grupy $G$ będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów $(g),(h).$

Dowód

Między każdymi dwiema grupami $G_{i-1}$ a $G_{i}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ skonstruowany zostanie z ciągu $(h)$ taki ciąg, który będzie zaczynać się od $G_{i-1}$ i kończyć na $G_{i}.$ Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu $(h)$ przez $G_{i-1}$ (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od $G_{i-1}$) oraz przecięcie iloczynów z $G_{i}$ (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na $G_{i}$); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów $(h)$ z $G_{i}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na $G_{i}$) i pomnożenie przecięć przez $G_{i-1}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od $G_{i-1}$) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między $G_{i-1}$ a $G_{i}$ są identyczne.

Niech $G_{ij}=G_{i-1}H_{j}\cap G_{i}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})$ i podobnie $H_{ij}=H_{j-1}G_{i}\cap H_{j}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})$ ($i=1,2,\dots ,n;$ $j=1,2,\dots ,m$). Ponieważ $G_{i-1}\trianglelefteq G_{i},$ to $G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\leqslant G_{i}$ (jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób $G_{ij}$ jest podgrupą w $G_{i}$ i podobnie $H_{ij}$ jest podgrupą w $H_{i}.$ Dlatego

$G_{i-1}=G_{i0}\leqslant G_{i1}\leqslant G_{i2}\leqslant \dots \leqslant G_{i\,m-1}\leqslant G_{im}=G_{i}\qquad (g_{i})$

oraz

$H_{j-1}=H_{0j}\leqslant H_{1j}\leqslant H_{2j}\leqslant \dots \leqslant H_{n-1\,j}\leqslant H_{nj}=H_{j}\qquad (h_{i}).$

Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach $A=G_{i},\ B=G_{i-1},\ C=H_{j},\ D=H_{j-1}$) otrzymuje się, dla każdego $i=1,2,\dots ,n;$ $j=1,2,\dots ,m{:}$

$G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\trianglelefteq G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j}),\quad H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j})\trianglelefteq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})$

oraz

$G_{i-1}(G_{i}\cap H)/G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\simeq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})/H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j}).$

Zatem $G_{i\,j-1}\trianglelefteq G_{ij},\ H_{i-1\,j}\trianglelefteq H_{ij}$ oraz $G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}.$ Stąd $(g_{i})$ jest ciągiem między $G_{i-1}$ a $G_{i},$ a $(h_{j})$ jest ciągiem między $H_{j-1}$ oraz $H_{j}.$ Zapisując kolejno wyrazy $(g_{1}),(g_{2}),\dots ,(g_{n})$ otrzymuje się ciąg $(g')$ grupy $G$ o $nm$ ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy $(h_{1}),(h_{2}),\dots ,(h_{m})$ otrzymuje się ciąg $(h')$ grupy $H$ o $mn$ ilorazach. Ciąg $(g')$ jest zagęszczeniem $(g),$ a $(h')$ jest zagęszczeniem $(h).$ Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów $G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}$ ciągi $(g')$ i $(h')$ są równoważne.

Zobacz też

• grupa policykliczna
• hipoteza Schreiera
• lemat Goursata

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce