Twierdzenie Stewarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rysunek poglądowy dla twierdzenia Stewarta

Twierdzenie Stewarta - twierdzenie geometrii płaskiej dotyczące związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. Twierdzenie udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w roku 1746.

Treść[edytuj]

Niech , , i będą długościami boków trójkąta. Niech będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok na dwa odcinki o długościach i . Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że:

Dowód[edytuj]

Niech θ będzie kątem między m i d, zaś θ′ kątem między n i d. Ponieważ θ′ jest dopełnieniem kąta θ to zachodzi równość cos θ′ = −cos θ. Z twierdzenia cosinusów dla kąta θ i θ′ mamy

Mnożąc pierwsze równanie przez n, drugie przez m, i dodając je otrzymujemy