Twierdzenie Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Stokesa – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Twierdzenie Stokesa w przestrzenie  \mathbb{R}^3[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \Sigma jest płatem powierzchni w  \mathbb{R}^3, a \partial \Sigma jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego F \colon= P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}, (gdzie F \in C^{1}(\bar{\Sigma}) mamy:

\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_{\Sigma}\mbox{rot}\vec{F}d\vec{\Sigma}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech \Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\}, gdzie r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t)) oraz r(D) = \Sigma. Wówczas wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest r(s,t)) otrzymujemy równość:

\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt)

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych Q i R)

A więc z twierdzenia Greena mamy:

\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych Q i R i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma})=\iint\limits_{
D}(\mbox{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt,

gdzie \vec{n}(s,t) = r'_x \times r'_y

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego \mbox{rot}F przez płat \Sigma. Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla n-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że H\subseteq \mathbb{R}^N jest orientowalną powierzchnią gładką, K\subseteq H jest zbiorem zwartym oraz K=\mbox{cl Int}K oraz, że brzeg \mbox{Fr}K jest (M-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli W\subseteq \mathbb{R}^N jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię H, \Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}) jest formą klasy C^1, a \sigma jest orientacją powierzchni H, to

\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega,

gdzie orientacja \sigma^{\rm{Fr}} powierzchni \mbox{Fr}K dana jest wzorem

\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}

dla y\in \mbox{Fr}K, a

z\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^N

jest taką funkcją, że z(y) jest wektorem zewnętrznym do zbioru K w punkcie y, |z(y)|=1, z(y) jest wektorem normalnym do powierzchni \mbox{Fr}K w punkcie y dla każdego y\in \mbox{Fr}K.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że W\subseteq \mathbb{R}^N jest zbiorem otwartym, KW zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg Fr K jest (N-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz

z\colon \mbox{Fr}K\to\mathbb{R}^N

jest funkcją o własnościach

  • z(y) jest wektorem zewnętrznym do K w punkcie y,
  • |z(y)| = 1,
  • z(y) jest wektorem normalnym do Fr K w punkcie y leżącym na brzegu Fr K.

Jeżeli \omega\colon W\to\mathbb{R}^N jest funkcją klasy C^1, to

\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\mbox{div} \omega(y)dy,

gdzie \mbox{div} oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że W\subseteq \mathbb{R}^2 jest zbiorem otwartym, K\subset W jest zbiorem zwartym takim, że K=\mbox{cl Int}K oraz brzeg \mbox{Fr}K jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

s\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^2

jest funkcją o własnościach

  • s(y) jest wektorem stycznym do krzywej \mbox{Fr}K w punkcie y
  • |s(y)|=1
  • \det[z(y), s(y)]>0, gdzie

z(y) jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy N=2). Jeżeli \omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2 jest funkcją klasy C^1, to

\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy.