Twierdzenie Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
George Gabriel Stokes (1819–1903)

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni [edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest płatem powierzchni w a jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego (gdzie ) mamy:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech gdzie oraz Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest ), otrzymujemy równość:

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych i ).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych i i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

gdzie

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego przez płat Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla -wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że jest orientowalną powierzchnią gładką, jest zbiorem zwartym oraz oraz, że brzeg jest -wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię jest formą klasy a jest orientacją powierzchni to

gdzie orientacja powierzchni dana jest wzorem

dla a

jest taką funkcją, że jest wektorem zewnętrznym do zbioru w punkcie jest wektorem normalnym do powierzchni w punkcie dla każdego

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg jest -wymiarową powierzchnią gładką oraz

jest funkcją o własnościach

  • jest wektorem zewnętrznym do w punkcie
  • jest wektorem normalnym do w punkcie leżącym na brzegu

Jeżeli jest funkcją klasy to

gdzie oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, jest zbiorem zwartym takim, że oraz brzeg jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

jest funkcją o własnościach

  • jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie

gdzie jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy ). Jeżeli jest funkcją klasy to