Twierdzenie Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni [edytuj kod]

Jeżeli jest płatem powierzchni w , a jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego , (gdzie mamy:

Dowód[edytuj kod]

Niech , gdzie oraz . Wówczas wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest ) otrzymujemy równość:

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych i )

A więc z twierdzenia Greena mamy:

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych i i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

,

gdzie

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego przez płat . Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa[edytuj kod]

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla n-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że jest orientowalną powierzchnią gładką, jest zbiorem zwartym oraz oraz, że brzeg jest (M-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię , jest formą klasy , a jest orientacją powierzchni , to

,

gdzie orientacja powierzchni dana jest wzorem

dla , a

jest taką funkcją, że jest wektorem zewnętrznym do zbioru w punkcie , , jest wektorem normalnym do powierzchni w punkcie dla każdego .

Wnioski[edytuj kod]

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego[edytuj kod]

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, KW zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg Fr K jest (N-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz

jest funkcją o własnościach

  • z(y) jest wektorem zewnętrznym do K w punkcie y,
  • |z(y)| = 1,
  • z(y) jest wektorem normalnym do Fr K w punkcie y leżącym na brzegu Fr K.

Jeżeli jest funkcją klasy , to

,

gdzie oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna[edytuj kod]

 Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, jest zbiorem zwartym takim, że oraz brzeg jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

jest funkcją o własnościach

  • jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie
  • , gdzie

jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy ). Jeżeli jest funkcją klasy , to

.