Twierdzenie Tellegena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Tellegena (zasada Tellegena) – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii obwodów, stosowane do analizy dowolnych obwodów skupionych. Zostało po raz pierwszy sformułowane w 1952 roku przez holenderskiego elektrotechnika Bernarda Tellegena[1].

Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

W każdym układzie skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy układu jest w każdej chwili równa zeru.

czyli: , gdzie K to liczba elementów skupionych, a to moc chwilowa pobierana przez k-ty element[2].

Ze względu na tożsamość powyższego równania względem czasu , prawdziwa jest również zależność

Dowód[3][edytuj | edytuj kod]

Niech prądy gałęziowe oraz napięcia gałęziowe spełniają kolejno pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa, a to potencjały poszczególnych węzłów. Wówczas napięcie pomiędzy węzłami i jest określone zależnością

.

Moc chwilową prądu można opisać zależnością

Wiedząc, że

Otrzymujemy

Analogicznie postępujemy dla wszystkich składników sumy

Grupujemy składniki postaci

Na podstawie I prawa Kirchhoffa

A więc

Czyli

Można też wykazać, że spośród trzech twierdzeń – obu praw Kirchhoffa oraz twierdzenia Tellegena, każde z nich można wyprowadzić z dwóch pozostałych[2].

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Tellegena stanowi zasadę zachowania mocy i energii w układach skupionych. W danej chwili suma mocy pobieranych przez elementy takiego układu jest równa mocy oddawanej przez pozostałe elementy. Zależność można sprowadzić do zasady zachowania energii, całkując to wyrażenie w przedziale [2]

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Tellegena jest jednym z najogólniejszych twierdzeń w teorii obwodów. Może być stosowane do opisu jakichkolwiek obwodów zbudowanych z elementów skupionych[3], tj. takich, których właściwości i zachowanie można opisać tylko funkcjami czasu[2]. Po uogólnieniu może być również wykorzystywane w analizie topologicznej w innych niż elektronika dziedzinach nauki np. w chemii, fizyce czy biologii[4].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. B. D. H. Tellegen. A general network theorem with applications. „Philips Research Reports”. 7, s. 259–269, 1952. Eindhoven: Philips Research Laboratories (ang.). 
  2. a b c d Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin: Podstawy teorii obwodów. T. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2016, s. 42. ISBN 978-83-01-18721-7.
  3. a b Michał Tadeusiewicz: Teoria obwodów. Łódź: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2000, s. 70-72. ISBN 83-87198-97-8.
  4. Tellegen's Theorem and Thermodynamic Inequalities (ang.). [dostęp 2018-04-01].