Twierdzenie Wedderburna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniemprzemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym[1][2]. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku[3] (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta[potrzebny przypis] i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce Niech będzie jego centrum, a niech będzie liczbą elementów Jeśli wymiar jako przestrzeni liniowej nad jest równy to ma elementów. Grupę multiplikatywną niezerowych elementów pierścienia można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy i grupy sprzężone, jeśli istnieje taki element grupy że

Niech dla symbol oznacza centralizator elementu (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia przemiennych z Jest to podpierścień w zawierający Jeśli jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) nad to ma elementów. Liczba jest podzielna przez i dla

Ponieważ liczba elementów grupy sprzężonych z jest równa indeksowi grupy w czyli

więc

(*)

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z Niech i niech

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki -tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli dzieli i jest różne od to wielomian dzieli

Dlatego w (*) z wyjątkiem wszystkie składniki są podzielne przez i dlatego Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

ma wartość bezwzględną większą od skąd sprzeczność. Zatem i czyli jest pierścieniem przemiennym.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967., wyd. ros. 1972
  • J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc.. 
  • Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: PWN, 2002.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]