Twierdzenie Wilsona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Wilsona – twierdzenie w teorii liczb. Mówi ono, że liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

jest podzielna przez [1][2].

Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu).

Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej, czy jest pierwsza. Ponieważ nie są znane efektywne algorytmy obliczania silni, twierdzenia tego nie da się łatwo stosować w badaniu pierwszości liczb.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Najpierw załóżmy, że jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla oraz Więc dodatkowo załóżmy, że Klasy liczb całkowitych mod tworzą ciało Rozpatrzmy w nim równanie:

Ma ono te same rozwiązania co równanie czyli

W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są oraz (w ciele dla różnego od 2, zachodzi nierówność ). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała które są odwrotne do siebie, są 1 i –1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów o iloczynie gdzie Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz –1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:

Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez czyli przez (co jest tym samym mod ), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:

czyli jest podzielna przez

Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne i w tym celu przypuśćmy, że jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe oraz liczby że Wtedy Zatem

i stąd (pamiętając, że )

więc

Tak więc

i liczba nie jest podzielna przez

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:

gdzie jest liczbą pierwszą większą od 2.

Dla zachodzi

więc równie dobrze można dodać do drugiej gałęzi wzoru.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 295 (twierdzenie Wilsona).
  2. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 35.