Przejdź do zawartości

Twierdzenie Zermela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniutwierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

Wnioski

[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych dwóch zbiorów i zachodzi

lub

gdzie przez oznacza moc zbioru Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne
Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Związek z aksjomatem wyboru

[edytuj | edytuj kod]

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru
Istotnie, niech będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek na zbiorze W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru ma element najmniejszy względem porządku Jednakże dla każdego zachodzi inkluzja Wynika stąd, że przyporządkowanie
jest funkcją wyboru na gdzie oznacza element najmniejszy w względem relacji

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.