Twierdzenie Zermela
Wygląd
Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniu – twierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.
Wnioski
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnych dwóch zbiorów i zachodzi
- lub
gdzie przez oznacza moc zbioru Oznacza to, że
- Moce dowolnych zbiorów są porównywalne
- Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.
Związek z aksjomatem wyboru
[edytuj | edytuj kod]Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.
- Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru
- Istotnie, niech będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek na zbiorze W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru ma element najmniejszy względem porządku Jednakże dla każdego zachodzi inkluzja Wynika stąd, że przyporządkowanie
- jest funkcją wyboru na gdzie oznacza element najmniejszy w względem relacji
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.