Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Bisector theorem.svg

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:


Dowód[edytuj | edytuj kod]

Sposób 1.[edytuj | edytuj kod]

Bisector plain2.svg

Z punktu prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej w punkcie przecina ona również przedłużenie boku w pewnym punkcie Zauważyć trzeba, że i

Następnie należy poprowadzić przez prostą równoległą do boku – przecina ona prostą w pewnym punkcie Trójkąty i przystające, a więc Z podobieństwa trójkątów i wynika, że:

czyli

Sposób 2.[edytuj | edytuj kod]

Bisector theorem2.svg

Niech:

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów i prawdziwa jest równość:

a także

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę:

Sposób 3[edytuj | edytuj kod]

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli Lewą stronę można zapisać jako:

Stąd co należało wykazać.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Bisekt.svg

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli leży na prostej i punkt na niej nie leży, to:

Dowód uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Spodki wysokości w trójkątach i z odpowiednio wierzchołków i oznaczone są odpowiednio jako i Wtedy:

Ponadto zarówno kąt jak i są proste, a kąty i są wierzchołkowe, jeśli leży na odcinku a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty i są podobne, a więc:

co kończy dowód.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]