Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków^[1].

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

{\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.

Dowód

Sposób 1.

Z punktu $A$ prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej $CD$ w punkcie $O,$ przecina ona również przedłużenie boku $BC$ w pewnym punkcie $B'.$ Zauważyć trzeba, że $|AO|=|OB'|$ i $|AC|=|B'C|.$

Następnie należy poprowadzić przez $B'$ prostą równoległą do boku $AB$ – przecina ona prostą $CD$ w pewnym punkcie $D'.$ Trójkąty $\Delta ADO$ i $\Delta B'D'O$ są przystające, a więc $|D'B'|=|AD|.$ Z podobieństwa trójkątów $\Delta DBC$ i $\Delta D'B'C$ wynika, że:

{\frac {|D'B'|}{|DB|}}={\frac {|B'C|}{|BC|}},

czyli

{\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.

Sposób 2.

Niech:

|AC|=b,

|BC|=a,

|AD|=m,

|BD|=n,

\angle ACD=x,

\angle ADC=y.

Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów $\Delta ADC$ i $\Delta DBC$ prawdziwa jest równość:

{\frac {m}{\sin x}}={\frac {b}{\sin y}},

a także

{\frac {n}{\sin x}}={\frac {a}{\sin(\pi -y)}}={\frac {a}{\sin y}}.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę: ${\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}}.$

Sposób 3

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli ${\frac {P_{\Delta ADC}}{P_{\Delta DBC}}}={\frac {m}{n}}.$ Lewą stronę można zapisać jako:

{\frac {{\frac {1}{2}}bCD\sin x}{{\frac {1}{2}}aCD\sin x}}={\frac {b}{a}}.

Stąd ${\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}},$ co należało wykazać.

Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli $D$ leży na prostej $BC$ i punkt $A$ na niej nie leży, to^[1]:

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.

Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach $ABD$ i $ACD$ z odpowiednio wierzchołków $B$ i $C$ oznaczone są odpowiednio jako $B_{1}$ i $C_{1}.$ Wtedy:

|BB_{1}|=|AB|\sin \angle BAD,

|CC_{1}|=|AC|\sin \angle CAD.

Ponadto zarówno kąt $DB_{1}B,$ jak i $DC_{1}C$ są proste, a kąty $B_{1}DB$ i $C_{1}DC$ są wierzchołkowe, jeśli $D$ leży na odcinku $BC,$ a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty $DB_{1}B$ i $DC_{1}C$ są podobne, a więc: