Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza[edytuj]

Bisector theorem.svg

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

.


Dowód[edytuj]

Sposób 1.[edytuj]

Bisector plain2.svg

Z punktu prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej w punkcie , przecina ona również przedłużenie boku w pewnym punkcie . Zauważyć trzeba, że i .

Następnie należy poprowadzić przez prostą równoległą do boku – przecina ona prostą w pewnym punkcie . Trójkąty i przystające, a więc . Z podobieństwa trójkątów i wynika, że:

,

czyli

Sposób 2.[edytuj]

Bisector theorem2.svg

Niech:

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów i prawdziwa jest równość:

,

a także

.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę: .

Sposób 3[edytuj]

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli . Lewą stronę można zapisać jako:

.

Stąd , co należało wykazać.

Uogólnienie[edytuj]

Bisekt.svg

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli leży na prostej i punkt na niej nie leży, to:

Dowód uogólnienia[edytuj]

Spodki wysokości w trójkątach i z odpowiednio wierzchołków i oznaczone są odpowiednio jako i . Wtedy:

.

Ponadto zarówno kąt , jak i są proste, a kąty i są wierzchołkowe, jeśli leży na odcinku , a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty i są podobne, a więc:

co kończy dowód.

Zobacz też[edytuj]