Twierdzenie o ideale pierwszym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie o ideale pierwszymtwierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole'a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech \mathcal{K}=(K,+,\cdot) będzie kratą rozdzielną. Jeśli F\subseteq K jest filtrem i a\in K\setminus F, to istnieje ideał pierwszy C\, rozłączny z F\, i zawierający a\,.
Diagram Hassego kraty M3, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie M_3, potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean Prime Ideal Theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole'a istnieje ideał pierwszy,

Ponieważ dualizacja algebry Boole'a jest algebrą Boole'a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

  • W każdej algebrze Boole'a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole'a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
  • W algebrze Boole'a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr - inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{K}, F \mbox{ i } a będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

\mathcal{F}=\{C\subseteq K:\,a\in C\,,\;C\cap F=\varnothing\,,\;C \mbox{ - ideał}\,\}

Jak łatwo sprawdzić, \mathcal{F} domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny C. Jest on ideałem rozłącznym z F zawierającym a. Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych c,d\in K zachodzi c\cdot d\in C\,,\;c,d\not\in C. Niech teraz C_c\mbox{ i }C_d\, będą minimalnymi ideałami zawierającymi C\cup\{c\}C\cup\{d\}, odpowiednio. Wówczas, C_c\,,\;C_d\,\not\in\mathcal{F}, skąd F\cap C_c\,,\,F\cap C_d\ne\varnothing. Niech zatem f_c,f_d\in F będą takie, że f_c\in F\cap C_cf_d\in F\cap C_d. Istnieją wówczas takie x_c,x_d\in C, że f_c\leqslant x_c+cf_d\leqslant x_d+d. Wówczas jednak f=f_c\cdot f_d\leqslant x_c+c\,,\,x_d+d\leqslant(x_c+x_d)+c\,,\,(x_c+x_d)+d, skąd

f\leqslant[(x_c+x_d)+c]\cdot[(x_c+x_d)+d]=[(x_c+x_d)+c\cdot d]\in C,

co oznacza, iż f\in C\cap F\, przecząc wyborowi C. Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)[edytuj | edytuj kod]

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem \mathcal{K} będzie kratą nieskończoną i niech \mathcal{L}_\mathcal{K} będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem \{\mathbf{p}_x\colon x\in K\} jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór X\, formuł zdaniowych w tym języku:

\mathbf{C}\mathbf{p}_x\mathbf{p}_y,\, x\geqslant y ,
\mathbf{CK}\mathbf{p}_x\mathbf{p}_y\mathbf{p}_{x+y},
\mathbf{C}\mathbf{p}_{x\cdot y}\mathbf{A}\mathbf{p}_x\mathbf{p}_y,
\mathbf{N}\mathbf{p}_x\;,\, x\in F,
\mathbf{p}_a,

gdzie x,y\in K.

Niech teraz X_0\, będzie skończonym podzbiorem zbioru X\,. Możemy założyć, że \mathbf{p}_a\in X_0. Niech dalej K_0\, będzie zbiorem tych elementów x\, zbioru K\,, dla których \mathbf{p}_x występuje w X_0\,. Wówczas podkrata \mathcal{K}_0 wyznaczona przez zbiór K_0\,, będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej F_0 będzie filtrem wyznaczonym przez F\cap K_0 w kracie \mathcal{K}_0. a\not\in F_0. Istnieje więc ideał pierwszy C_0\, kraty \mathcal{K}_0, który jest rozłączny z F_0 i zawiera a. Niech teraz v_0(\mathbf{p}_x)=1\;\Leftrightarrow\;x\in C_0. Nietrudno wykazać, że v_0\, spełnia wszystkie formuły ze zbioru X_0\,. Wobec dowolności zbioru X_0\,, oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru X\, jest spełnialny. Niech zatem v\, spełnia wszystkie formuły zbioru X\,. Wówczas C=\{a\colon v(\mathbf{p}_a)=1\,\} jest szukanym ideałem pierwszym kraty \mathcal{K}\,.

Uwagi i wnioski[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermelo-Fraenkela BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Kreina-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny "BPI + twierdzenie Kreina Milmana"[5].

Wnikliwą prezentację słabszych wersji pewnika wyboru, w tym równoważników twierdzenia o zwartości można znaleźć w [Howard, 1998]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Horst Herlich. The Ascoli theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem. „Rostock. Math. Kolloq.”, s. 137-140, 1997. 
  2. Matthew Foreman, Friedrich Wehrung. The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set. „Fundamenta Mathematicae”, s. 13-19, 1991. 
  3. Janusz Pawlikowski. The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae”, s. 21-22, 1991. 
  4. Y.T. Rhineghost. The boolean prime ideal theorem holds iff maximal open filters exist. „Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques”, s. 313-315, 1992. 
  5. John Bell, David Fremlin. A geometric form of the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”, s. 167-170, 1972. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Paul Howard, Jean E. Rubin, Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.