Twierdzenie o ideale pierwszym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o ideale pierwszymtwierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie[edytuj]

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech będzie kratą rozdzielną. Jeśli jest filtrem i , to istnieje ideał pierwszy rozłączny z i zawierający .
Diagram Hassego kraty M3, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie , potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean Prime Ideal Theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy,

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

  • W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
  • W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr - inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)[edytuj]

Niech będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

Jak łatwo sprawdzić, domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny . Jest on ideałem rozłącznym z zawierającym . Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych zachodzi . Niech teraz będą minimalnymi ideałami zawierającymi , odpowiednio. Wówczas, , skąd . Niech zatem będą takie, że . Istnieją wówczas takie , że . Wówczas jednak , skąd

,

co oznacza, iż przecząc wyborowi . Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)[edytuj]

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem będzie kratą nieskończoną i niech będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór formuł zdaniowych w tym języku:

,
,
,
,
,

gdzie .

Niech teraz będzie skończonym podzbiorem zbioru . Możemy założyć, że . Niech dalej będzie zbiorem tych elementów zbioru , dla których występuje w . Wówczas podkrata wyznaczona przez zbiór , będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej będzie filtrem wyznaczonym przez w kracie . . Istnieje więc ideał pierwszy kraty , który jest rozłączny z  i zawiera . Niech teraz . Nietrudno wykazać, że spełnia wszystkie formuły ze zbioru . Wobec dowolności zbioru , oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru jest spełnialny. Niech zatem spełnia wszystkie formuły zbioru . Wówczas jest szukanym ideałem pierwszym kraty .

Uwagi i wnioski[edytuj]

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkela BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Kreina-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Kreina Milmana”[5].

Wnikliwą prezentację słabszych wersji pewnika wyboru, w tym równoważników twierdzenia o zwartości można znaleźć w [Howard, 1998]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Horst Herlich. The Ascoli theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem. „Rostock. Math. Kolloq.”, s. 137-140, 1997. 
  2. Matthew Foreman, Friedrich Wehrung. The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set. „Fundamenta Mathematicae”, s. 13-19, 1991. 
  3. Janusz Pawlikowski. The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae”, s. 21-22, 1991. 
  4. Y.T. Rhineghost. The boolean prime ideal theorem holds iff maximal open filters exist. „Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques”, s. 313-315, 1992. 
  5. John Bell, David Fremlin. A geometric form of the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”, s. 167-170, 1972. 

Bibliografia[edytuj]

  • Paul Howard, Jean E. Rubin, Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.