Twierdzenie o kącie zewnętrznym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o kącie zewnętrznym – twierdzenie geometrii absolutnej, a zatem prawdziwe również w geometrii hiperbolicznej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego z kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych[1].
Kąt zewnętrzny jest równy sumie kątów wewnętrznych nieprzyległych

W geometrii euklidesowej twierdzenie to można wypowiedzieć precyzyjniej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

To drugie twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia o tym, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.

W geometrii hiperbolicznej twierdzenie to można wypowiedzieć następująco:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od sumy miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych,

bo suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest mniejsza od 180°.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie[edytuj | edytuj kod]

Tw kat zew1.svg

A, B, C – wierzchołki wyjściowego trójkąta, CZdwusieczna kąta zewnętrznego.

Twierdzenie:

 \frac {AC} {BC} = \frac {AZ} {BZ}

Dowód 1:[edytuj | edytuj kod]

Wprowadzono oznaczenia:

X – taki punkt X na AC, że \Delta XCB jest równoramienny: XC = CB
Y – taki punkt Y, że \angle CYB = \angle CXB = \angle CBX, czyli XC = CB = BY

Trójkąt \Delta BYZ jest podobny do \Delta ACZ stąd:

Tw kat zew2.svg
 \frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BY} ,

czyli

 \frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BC} , co należało dowieść.

Dowód 2:[edytuj | edytuj kod]

Postępuje się analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że:

\sin \angle BCZ = \sin \angle ACZ.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Warszawa: PWN, 1970, s. 95.