Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – Niech będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś zbiorem wskaźników. Jeżeli zdarzenia rozbiciem na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, czyli:

  • dla ,
  • ,
  • ,

to dla dowolnego zdarzenia : [1]

,

gdzie symbol oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie .

Zdarzenia nazywa się czasem hipotezami.

Dowód[edytuj]

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

.

Zastosowania[edytuj]

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład[edytuj]

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

gdzie

  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym[edytuj]

Teza[edytuj]

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie dla którego . Zachodzi wtedy wzór

.

Dowód[edytuj]

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, iż jest prawdopodobieństwem. Jest więc sens mówić o – prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia zdarzenia , gdy wiemy, że zaszło zdarzenie . Zachodzi równość:

.

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy