Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni , tj.

  • ,
  • ,
  • .

Wówczas dla dowolnego zdarzenia zachodzi wzór

,

przy czym ozacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia .

Uwaga. Ze skończoności miary wynika, że rodzina składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia nazywane są czasem hipotezami.[1]

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

gdzie

  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym[edytuj | edytuj kod]

Teza[edytuj | edytuj kod]

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie dla którego . Zachodzi wtedy wzór

.[2]


Dowód[edytuj | edytuj kod]

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, że

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o , tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia zdarzenia , gdy wiemy, że zaszło zdarzenie . Zachodzi równość:

.[2]

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa .

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]