Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni tj.

Wówczas dla dowolnego zdarzenia zachodzi wzór

przy czym ozacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia

Uwaga. Ze skończoności miary wynika, że rodzina składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia nazywane są czasem hipotezami[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie – zgodnie ze swą nazwą – pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

gdzie:

  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
  • to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym[edytuj | edytuj kod]

Teza[edytuj | edytuj kod]

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie dla którego Zachodzi wtedy wzór

[2]

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, że

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia zdarzenia gdy wiemy, że zaszło zdarzenie Zachodzi równość:

[2]

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]