Twierdzenie o rzędzie

Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie

Niech $\scriptstyle \mathrm A\colon V \to W$ będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi $\scriptstyle V, W.$ Wówczas zachodzi równość

$\dim \mathrm{dom\; A} = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A},$

co oznacza się również

$\dim V = \mathrm{null\; A} + \mathrm{rank\; A},$

gdzie $\scriptstyle \dim$ oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a $\scriptstyle \mathrm{dom},\ \ker,\ \mathrm{im}$ oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś $\scriptstyle \mathrm{null},\ \mathrm{rank},$ nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli $\scriptstyle \mathbf A$ jest macierzą typu $\scriptstyle m \times n,$ czyli o $\scriptstyle m$ wierszach i $\scriptstyle n$ kolumnach, to

$n = \mathrm{null}\; \mathbf A + \mathrm{rank}\; \mathbf A,$

gdzie $\scriptstyle \mathrm{null}$ i $\scriptstyle \mathrm{rank}$ oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód

Niech $\scriptstyle U$ oznacza podprzestrzeń przestrzeni $\scriptstyle V$ spełniającą $\scriptstyle V = \ker \mathrm A \oplus U,$ a układ $\scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k$ będzie bazą $\scriptstyle U$ (tj. wraz z bazą $\scriptstyle \ker \mathrm A$ tworzy ona bazę $\scriptstyle V$). Wówczas układ $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k)$ jest bazą $\scriptstyle \mathrm{im\; A}.$

Generowanie

Niech $\scriptstyle \mathbf w \in \mathrm{im\; A},$ wtedy $\scriptstyle \mathbf w = \mathrm A(\mathbf v)$ dla pewnego $\scriptstyle \mathbf v,$ który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci $\scriptstyle \mathbf v = \mathbf x + \mathbf y,$ gdzie $\scriptstyle \mathbf x \in \ker \mathrm A$ oraz $\scriptstyle \mathbf y \in U,$ który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako $\scriptstyle \mathbf y = y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k$ dla pewnych skalarów $\scriptstyle y_1, \dots, y_k.$ Stąd

$\mathbf w = \mathrm A(\mathbf v) = \mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y) = \mathbf 0 + \mathrm A(y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k) = y_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + y_k\mathrm A(\mathbf b_k),$

co wobec dowolności $\scriptstyle \mathbf w$ oznacza, że układ $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k)$ rozpina $\scriptstyle \mathrm{im\; A}.$

Liniowa niezależność

Niech

$c_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + c_k\mathrm A(\mathbf b_k) = \mathbf 0,$

wtedy $\scriptstyle \mathrm A(c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k) = 0,$ czyli $\scriptstyle c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k$ należy równocześnie do $\scriptstyle U$ (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do $\scriptstyle \ker \mathrm A$ (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to $\scriptstyle c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k = \mathbf 0,$ czyli

$c_1, \dots, c_k = 0$

(na mocy liniowej niezależności bazy $\scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k$), co dowodzi liniowej niezależności $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k).$

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż $\scriptstyle \dim U = \dim \mathrm{im\; A} = \mathrm{rank\; A}$ i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy

Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli $\scriptstyle \dim U = \infty,$ to układ $\scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k$ wystarczy zastąpić dowolną bazą $\scriptstyle (\mathbf b_i)_{i \in I}$ przestrzeni $\scriptstyle U;$ jeśli $\scriptstyle \dim V = \infty,$ to twierdzenie to mówi, że przestrzenie $\scriptstyle \ker \mathrm A$ oraz $\scriptstyle \mathrm{im\; A}$ nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

• izomorfizm liniowy $\scriptstyle V \to W$ przeprowadza dowolną bazę $\scriptstyle V$ na bazę $\scriptstyle W,$ gdyż wtedy $\scriptstyle \dim V = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A} = \dim \{\mathbf 0\} + \dim W = \dim W;$
• ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
• jeśli dla przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm A\colon V \to W$ jest $\scriptstyle \dim V = \dim W < \infty,$ to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:

  $\ker \mathrm A = \{\mathbf 0\} \Leftrightarrow \mathrm{null\; A} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim V \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim W \Leftrightarrow \mathrm{im\; A} = W.$

Zobacz też

• twierdzenie o izomorfizmie
• lemat o rozszczepianiu
• nierówność Sylvestera
• twierdzenie Kroneckera-Capellego