Niech będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi Wówczas zachodzi równość
co oznacza się również
gdzie oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.
Jeżeli jest macierzą typu czyli o wierszach i kolumnach, to
gdzie i oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.
Niech oznacza podprzestrzeń przestrzeni spełniającą a układ będzie bazą (tj. wraz z bazą tworzy ona bazę ). Wówczas układ jest bazą
Generowanie
Niech wtedy dla pewnego który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie oraz który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako dla pewnych skalarów Stąd
co wobec dowolności oznacza, że układ rozpina
Liniowa niezależność
Niech
wtedy czyli należy równocześnie do (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to czyli
(na mocy liniowej niezależności bazy ), co dowodzi liniowej niezależności
Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż i własności wymiaru dla sumy prostej.
Przypadek nieskończeniewymiarowy
Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli to układ wystarczy zastąpić dowolną bazą przestrzeni jeśli to twierdzenie to mówi, że przestrzenie oraz nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.
ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
jeśli dla przekształcenia liniowego jest to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności: