Twierdzenie o rzędzie

Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie

Niech $\scriptstyle \mathrm {A} \colon V\to W$$\scriptstyle \mathrm {A} \colon V\to W$ będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi $\scriptstyle V,W.$$\scriptstyle V,W.$ Wówczas zachodzi równość

$\dim \mathrm {dom\;A} =\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} ,$$\dim \mathrm {dom\;A} =\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} ,$

co oznacza się również

$\dim V=\mathrm {null\;A} +\mathrm {rank\;A} ,$$\dim V=\mathrm {null\;A} +\mathrm {rank\;A} ,$

gdzie $\scriptstyle \dim$$\scriptstyle \dim$ oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a $\scriptstyle \mathrm {dom} ,\ \ker ,\ \mathrm {im}$$\scriptstyle \mathrm {dom} ,\ \ker ,\ \mathrm {im}$ oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś $\scriptstyle \mathrm {null} ,\ \mathrm {rank} ,$$\scriptstyle \mathrm {null} ,\ \mathrm {rank} ,$ nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli $\scriptstyle \mathbf {A}$$\scriptstyle \mathbf {A}$ jest macierzą typu $\scriptstyle m\times n,$$\scriptstyle m\times n,$ czyli o $\scriptstyle m$$\scriptstyle m$ wierszach i $\scriptstyle n$$\scriptstyle n$ kolumnach, to

$n=\mathrm {null} \;\mathbf {A} +\mathrm {rank} \;\mathbf {A} ,$$n=\mathrm {null} \;\mathbf {A} +\mathrm {rank} \;\mathbf {A} ,$

gdzie $\scriptstyle \mathrm {null}$$\scriptstyle \mathrm {null}$ i $\scriptstyle \mathrm {rank}$$\scriptstyle \mathrm {rank}$ oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód

Niech $\scriptstyle U$$\scriptstyle U$ oznacza podprzestrzeń przestrzeni $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$ spełniającą $\scriptstyle V=\ker \mathrm {A} \oplus U,$$\scriptstyle V=\ker \mathrm {A} \oplus U,$ a układ $\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$$\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$ będzie bazą $\scriptstyle U$$\scriptstyle U$ (tj. wraz z bazą $\scriptstyle \ker \mathrm {A}$$\scriptstyle \ker \mathrm {A}$ tworzy ona bazę $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$). Wówczas układ $\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})$$\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})$ jest bazą $\scriptstyle \mathrm {im\;A} .$$\scriptstyle \mathrm {im\;A} .$

Generowanie

Niech $\scriptstyle \mathbf {w} \in \mathrm {im\;A} ,$$\scriptstyle \mathbf {w} \in \mathrm {im\;A} ,$ wtedy $\scriptstyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )$$\scriptstyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )$ dla pewnego $\scriptstyle \mathbf {v} ,$$\scriptstyle \mathbf {v} ,$ który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci $\scriptstyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {y} ,$$\scriptstyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {y} ,$ gdzie $\scriptstyle \mathbf {x} \in \ker \mathrm {A}$$\scriptstyle \mathbf {x} \in \ker \mathrm {A}$ oraz $\scriptstyle \mathbf {y} \in U,$$\scriptstyle \mathbf {y} \in U,$ który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako $\scriptstyle \mathbf {y} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k}$$\scriptstyle \mathbf {y} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k}$ dla pewnych skalarów $\scriptstyle y_{1},\dots ,y_{k}.$$\scriptstyle y_{1},\dots ,y_{k}.$ Stąd

$\mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )+\mathrm {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} +\mathrm {A} (y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k})=y_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +y_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}),$$\mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )+\mathrm {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} +\mathrm {A} (y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k})=y_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +y_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}),$

co wobec dowolności $\scriptstyle \mathbf {w}$$\scriptstyle \mathbf w$ oznacza, że układ $\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})$$\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})$ rozpina $\scriptstyle \mathrm {im\;A} .$$\scriptstyle \mathrm {im\;A} .$

Liniowa niezależność

Niech

$c_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +c_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})=\mathbf {0} ,$$c_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +c_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})=\mathbf {0} ,$

wtedy $\scriptstyle \mathrm {A} (c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k})=0,$$\scriptstyle \mathrm {A} (c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k})=0,$ czyli $\scriptstyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}$$\scriptstyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}$ należy równocześnie do $\scriptstyle U$$\scriptstyle U$ (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do $\scriptstyle \ker \mathrm {A}$$\scriptstyle \ker \mathrm {A}$ (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to $\scriptstyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}=\mathbf {0} ,$$\scriptstyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}=\mathbf {0} ,$ czyli

$c_{1},\dots ,c_{k}=0$$c_{1},\dots ,c_{k}=0$

(na mocy liniowej niezależności bazy $\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$$\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$), co dowodzi liniowej niezależności $\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}).$$\scriptstyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}).$

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż $\scriptstyle \dim U=\dim \mathrm {im\;A} =\mathrm {rank\;A}$$\scriptstyle \dim U=\dim \mathrm {im\;A} =\mathrm {rank\;A}$ i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy

Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli $\scriptstyle \dim U=\infty ,$$\scriptstyle \dim U=\infty ,$ to układ $\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$$\scriptstyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}$ wystarczy zastąpić dowolną bazą $\scriptstyle (\mathbf {b} _{i})_{i\in I}$$\scriptstyle (\mathbf {b} _{i})_{i\in I}$ przestrzeni $\scriptstyle U;$$\scriptstyle U;$ jeśli $\scriptstyle \dim V=\infty ,$$\scriptstyle \dim V=\infty ,$ to twierdzenie to mówi, że przestrzenie $\scriptstyle \ker \mathrm {A}$$\scriptstyle \ker \mathrm {A}$ oraz $\scriptstyle \mathrm {im\;A}$$\scriptstyle \mathrm {im\;A}$ nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

• izomorfizm liniowy $\scriptstyle V\to W$$\scriptstyle V\to W$ przeprowadza dowolną bazę $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$ na bazę $\scriptstyle W,$$\scriptstyle W,$ gdyż wtedy $\scriptstyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} =\dim\{\mathbf {0} \}+\dim W=\dim W;$$\scriptstyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} =\dim\{\mathbf {0} \}+\dim W=\dim W;$
• ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
• jeśli dla przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm {A} \colon V\to W$$\scriptstyle \mathrm {A} \colon V\to W$ jest $\scriptstyle \dim V=\dim W<\infty ,$$\scriptstyle \dim V=\dim W<\infty ,$ to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:

  $\ker \mathrm {A} =\{\mathbf {0} \}\Leftrightarrow \mathrm {null\;A} =0\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim V\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim W\Leftrightarrow \mathrm {im\;A} =W.$$\ker \mathrm {A} =\{\mathbf {0} \}\Leftrightarrow \mathrm {null\;A} =0\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim V\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim W\Leftrightarrow \mathrm {im\;A} =W.$

Zobacz też

• twierdzenie o izomorfizmie
• lemat o rozszczepianiu
• nierówność Sylvestera
• twierdzenie Kroneckera-Capellego