Twierdzenie o rzędzie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie o rzędzietwierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \mathrm A\colon V \to W będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi \scriptstyle V, W. Wówczas zachodzi równość

\dim \mathrm{dom\; A} = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A},

co oznacza się również

\dim V = \mathrm{null\; A} + \mathrm{rank\; A},

gdzie \scriptstyle \dim oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a \scriptstyle \mathrm{dom},\ \ker,\ \mathrm{im} oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś \scriptstyle \mathrm{null},\ \mathrm{rank}, nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli \scriptstyle \mathbf A jest macierzą typu \scriptstyle m \times n, czyli o \scriptstyle m wierszach i \scriptstyle n kolumnach, to

n = \mathrm{null}\; \mathbf A + \mathrm{rank}\; \mathbf A,

gdzie \scriptstyle \mathrm{null} i \scriptstyle \mathrm{rank} oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle U oznacza podprzestrzeń przestrzeni \scriptstyle V spełniającą \scriptstyle V = \ker \mathrm A \oplus U, a układ \scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k będzie bazą \scriptstyle U (tj. wraz z bazą \scriptstyle \ker \mathrm A tworzy ona bazę \scriptstyle V). Wówczas układ \scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k) jest bazą \scriptstyle \mathrm{im\; A}.

Generowanie
Niech \scriptstyle \mathbf w \in \mathrm{im\; A}, wtedy \scriptstyle \mathbf w = \mathrm A(\mathbf v) dla pewnego \scriptstyle \mathbf v, który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci \scriptstyle \mathbf v = \mathbf x + \mathbf y, gdzie \scriptstyle \mathbf x \in \ker \mathrm A oraz \scriptstyle \mathbf y \in U, który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako \scriptstyle \mathbf y = y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k dla pewnych skalarów \scriptstyle y_1, \dots, y_k. Stąd
\mathbf w = \mathrm A(\mathbf v) = \mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y) = \mathbf 0 + \mathrm A(y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k) = y_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + y_k\mathrm A(\mathbf b_k),
co wobec dowolności \scriptstyle \mathbf w oznacza, że układ \scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k) rozpina \scriptstyle \mathrm{im\; A}.
Liniowa niezależność
Niech
c_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + c_k\mathrm A(\mathbf b_k) = \mathbf 0,
wtedy \scriptstyle \mathrm A(c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k) = 0, czyli \scriptstyle c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k należy równocześnie do \scriptstyle U (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do \scriptstyle \ker \mathrm A (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to \scriptstyle c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k = \mathbf 0, czyli
c_1, \dots, c_k = 0
(na mocy liniowej niezależności bazy \scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k), co dowodzi liniowej niezależności \scriptstyle \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k).

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż \scriptstyle \dim U = \dim \mathrm{im\; A} = \mathrm{rank\; A} i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy
Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli \scriptstyle \dim U = \infty, to układ \scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k wystarczy zastąpić dowolną bazą \scriptstyle (\mathbf b_i)_{i \in I} przestrzeni \scriptstyle U; jeśli \scriptstyle \dim V = \infty, to twierdzenie to mówi, że przestrzenie \scriptstyle \ker \mathrm A oraz \scriptstyle \mathrm{im\; A} nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

  • izomorfizm liniowy \scriptstyle V \to W przeprowadza dowolną bazę \scriptstyle V na bazę \scriptstyle W, gdyż wtedy \scriptstyle \dim V = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A} = \dim \{\mathbf 0\} + \dim W = \dim W;
  • ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
  • jeśli dla przekształcenia liniowego \scriptstyle \mathrm A\colon V \to W jest \scriptstyle \dim V = \dim W < \infty, to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:
    \ker \mathrm A = \{\mathbf 0\} \Leftrightarrow \mathrm{null\; A} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim V \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim W \Leftrightarrow \mathrm{im\; A} = W.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]