Twierdzenie o rzędzie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o rzędzietwierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi Wówczas zachodzi równość

co oznacza się również

gdzie oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli jest macierzą typu czyli o wierszach i kolumnach, to

gdzie i oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód[edytuj]

Niech oznacza podprzestrzeń przestrzeni spełniającą a układ będzie bazą (tj. wraz z bazą tworzy ona bazę ). Wówczas układ jest bazą

Generowanie
Niech wtedy dla pewnego który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie oraz który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako dla pewnych skalarów Stąd
co wobec dowolności oznacza, że układ rozpina
Liniowa niezależność
Niech
wtedy czyli należy równocześnie do (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to czyli
(na mocy liniowej niezależności bazy ), co dowodzi liniowej niezależności

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy
Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli to układ wystarczy zastąpić dowolną bazą przestrzeni jeśli to twierdzenie to mówi, że przestrzenie oraz nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski[edytuj]

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

  • izomorfizm liniowy przeprowadza dowolną bazę na bazę gdyż wtedy
  • ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
  • jeśli dla przekształcenia liniowego jest to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:

Zobacz też[edytuj]