Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy przestrzeni Hilberta. Zobacz też: twierdzenie o rzucie prostokątnym dotyczące pól powierzchni.

Twierdzenie o rzucie ortogonalnymtwierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech będzie przestrzenią Hilberta, zaś będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

gdzie oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej[a], to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które gwarantuje istnienie jednego i tylko jednego elementu najlepiej przybliżającego dowolny element W ten sposób

z kolei poniższy lemat zapewnia, że element tj. zatem (przestrzeń jest generowana przez ); ponadto jeżeli to co zachodzi tylko dla [b], a zatem stąd też jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego

Lemat
Niech będzie przestrzenią unitarną z normą indukowaną z iloczynu skalarnego zaś będzie zupełną podprzestrzenią liniową w Wówczas jest elementem najlepszej aproksymacji w dla wtedy i tylko wtedy, gdy oraz [c].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Niech będzie ciągiem w wtedy z definicji skąd z domkniętości zatem jest zupełna.
  2. Z definicji jest zbiorem tych elementów które są ortogonalne do każdego elementu zbioru jeżeli należy również do to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj. Warunek ten można zapisać w postaci gdzie oznacza iloczyn skalarny przestrzeni co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla
  3. Konieczność. Niech będzie elementem najlepiej aproksymującym zaś Ponieważ dla każdego tożsamość pociąga to można przyjąć Niech dla dowolnego skalara skoro jest najlepszym przybliżeniem oraz to
    gdzie oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej zaś to jej sprzężenie zespolone.
    Wybierając otrzymuje się skąd tzn.
    Dostateczność. Niech oraz Ponieważ jest podprzestrzenią liniową, to dla dowolnego co pociąga dla wszystkich Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
    co oznacza, że twierdzenie o najlepszej aproksymacji mówi, że w zbiorze istnieje element najlepiej przybliżający (przestrzeń jest wypukła i niepusta jako podprzestrzeń liniowa), tzn. co oznacza, że to jest elementem najlepszej aproksymacji dla

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]