Twierdzenie o trzech ciągach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o trzech ciągachtwierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”.

Twierdzenie[edytuj kod]

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych oraz Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich większych od pewnego wskaźnika zachodzi

przy czym

to wtedy także

Dowód[edytuj kod]

Niech dany będzie Zbieżność ciągów oraz oznacza, że można wskazać takie, że dla dowolnego zachodzą nierówności

oraz

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

oraz

czyli

oraz

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego zachodzi oszacowanie

które jest równoważne

co oznacza, że

Przykłady[edytuj kod]

  • Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
Otóż dla dowolnego zachodzą oszacowania
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy daje
, gdyż jest ciągiem stałym równym
oraz
, gdyż dla
skąd na mocy twierdzenia również
  • Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Bibliografia[edytuj kod]

Zobacz też[edytuj kod]