Twierdzenie o trzech ciągach

Ilustracja twierdzenia – wszystkie trzy ciągi są zbieżne do tej samej granicy

Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie matematyczne o niektórych ciągach. Jest to warunek wystarczający na to, żeby nieskończony ciąg liczb rzeczywistych był zbieżny.

Analogiczne twierdzenie zachodzi też dla niektórych innych funkcji rzeczywistych. Wtedy jest znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach.

Twierdzenie

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych: $a_{n},b_{n},c_{n}.$ Jeśli jednocześnie:

• dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich $n$ większych od pewnego wskaźnika $N,$ zachodzą nierówności $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n};$
• ciągi $a_{n},c_{n}$ zbiegają do tej samej granicy: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=g,$

to wtedy także ciąg $b_{n}$ do niej zbiega:

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=g$.

Dowód

Niech dany będzie $\varepsilon >0$ Zbieżność ciągów $a_{n}$ oraz $c_{n}$ oznacza, że można wskazać $\delta _{1},\delta _{2}\in \mathbb {N} ,$ takie, że dla dowolnego $n>\delta =\max(\delta _{1},\delta _{2})$ zachodzą nierówności

$|a_{n}-g|<\varepsilon$ oraz $|c_{n}-g|<\varepsilon ,$

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

$-\varepsilon <a_{n}-g$ oraz $c_{n}-g<\varepsilon ,$

czyli

$g-\varepsilon <a_{n}$ oraz $c_{n}<g+\varepsilon .$

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego $n>\max(\delta ,N)$ zachodzi oszacowanie

$g-\varepsilon <a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}<g+\varepsilon ,$

które jest równoważne

$|b_{n}-g|<\varepsilon ,$

co oznacza, że

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=g.$

Przykłady

• Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}=4.$

Otóż dla dowolnego $n$ zachodzą oszacowania

${\sqrt[{n}]{4^{n}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{4^{n}+4^{n}+4^{n}}}={\sqrt[{n}]{3\cdot 4^{n}}}=4{\sqrt[{n}]{3}}.$

Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy $n\to \infty$ daje

${\sqrt[{n}]{4^{n}}}\to 4,$ gdyż ${\sqrt[{n}]{4^{n}}}$ jest ciągiem stałym równym $4$

oraz

$4{\sqrt[{n}]{3}}\to 4,$ gdyż ${\sqrt[{n}]{a}}\to 1$ dla $a>0,$

skąd na mocy twierdzenia również

${\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}\to 4.$

• Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Historia

Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach”:

jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz.

Nazwa ta powstała w czasie stanu wojennego w Polsce, a dziś częściej mówi się o policjantach. Podobne nazwy występują w innych językach:

• po rosyjsku także odwołuje się do milicji – por. milicja w Rosji;
• po włosku twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”;
• po francusku zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”.

Zobacz też

• twierdzenie Toeplitza

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 45. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie o trzech ciągach, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
• Twierdzenia o trzech i o dwóch ciągach, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2024-07-09].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Squeeze Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-07-08].