Twierdzenie o trzech ciągach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o trzech ciągachtwierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych a_n, b_n oraz c_n. Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich n, większych od pewnego wskaźnika N, zachodzi

a_n \leqslant b_n \leqslant c_n,

przy czym

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = g,

to wtedy także

\lim_{n \to \infty} b_n = g.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie \varepsilon > 0 Zbieżność ciągów a_n oraz c_n oznacza, że można wskazać \delta_1, \delta_2 \in \mathbb N, takie, że dla dowolnego n > \delta = \max(\delta_1, \delta_2) zachodzą nierówności

|a_n - g| < \varepsilon oraz |c_n - g| < \varepsilon,

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

- \varepsilon < a_n - g oraz c_n - g < \varepsilon,

czyli

g - \varepsilon < a_n oraz c_n < g + \varepsilon.

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego n > \max(\delta, N) zachodzi oszacowanie

g - \varepsilon < a_n \leqslant b_n \leqslant c_n < g + \varepsilon,

które jest równoważne

|b_n - g| < \varepsilon,

co oznacza, że

\lim_{n \to \infty} b_n = g.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} = 4.
Otóż dla dowolnego \scriptstyle n zachodzą oszacowania
\sqrt[n]{4^n} \leqslant \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \leqslant \sqrt[n]{4^n + 4^n + 4^n} = \sqrt[n]{3 \cdot 4^n} = 4 \sqrt[n] 3.
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy \scriptstyle n \to \infty daje
\sqrt[n]{4^n} \to 4, gdyż \sqrt[n]{4^n} jest ciągiem stałym równym  4
oraz
4 \sqrt[n] 3 \to 4, gdyż dla \scriptstyle a > 0 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n] a = 1
skąd na mocy twierdzenia również
\sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \to 4
  • Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Żartobliwe wersje twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach[a] [b]: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenia o żandarmach”. W USA twierdzenie określa się mianem "kanapkowego" (sandwich theorem).

Uwagi

  1. żart w takiej postaci funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji
  2. dziś częściej mówi się o policjantach)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]