Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego
Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego - twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.
Wypowiedź twierdzenia[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony[1].
Dowód[edytuj | edytuj kod]
Załóżmy, że ciąg jest rosnący[2] oraz ograniczony. Pokażemy, że jest on zbieżny i że granica wynosi .
Skoro zbiór jest niepusty i ograniczony z góry, to na mocy aksjomatu ciągłości istnieje (i jest skończone) . Dla każdego , istnieje takie naturalne , że , jako że w przeciwnym wypadku byłoby ograniczeniem górnym , mniejszym od , co przeczy definicji , jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro jest rosnący, to , co oznacza, że granicą ciągu jest
Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Uogólnienie tego twierdzenia zostało podane w: John Bibby. Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences. „Glasgow Mathematical Journal”. 15, s. 63–65, 1974.
- ↑ Dowód dla ciągu malejącego jest podobny, wykorzystuje się w nim analogiczną własność mówiącą o tym, że niepusty, ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003. ISBN 83-7171-636-2.
- Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1982, s. 50. ISBN 83-01-02846-7.