Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego - twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzenia

Niech $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód

Załóżmy, że ciąg $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ jest rosnący oraz ograniczony. Pokażemy, że jest on zbieżny i że granica wynosi $\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }\{a_{n}\}$.

Skoro zbiór $\{a_{n},n\in \mathbb {N} \}$ jest niepusty i ograniczony z góry, to na mocy aksjomatu ciągłości istnieje (i jest skończone) $c=\sup _{n}\{a_{n}\}$. Dla każdego $\varepsilon >0$, istnieje takie naturalne $N$, że $a_{N}>c-\varepsilon$, jako że w przeciwnym wypadku $c-\varepsilon$ byłoby ograniczeniem górnym $\{a_{n}\}$, mniejszym od $\sup _{n}\{a_{n}\}$, co przeczy definicji $c$, jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro $\{a_{n}\}$ jest rosnący, to $\forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon$, co oznacza, że granicą ciągu $\{a_{n}\}$ jest $\sup _{n}\{a_{n}\}.$

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Zobacz też

• Ciąg
• Granica ciągu i funkcji
• Zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003. ISBN 83-7171-636-2.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1982, s. 50. ISBN 83-01-02846-7.