Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągów monotonicznych. Zobacz też: Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej ciągu funkcji mierzalnych.

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego - twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że ciąg jest rosnący[2] oraz ograniczony. Pokażemy, że jest on zbieżny i że granica wynosi .

Skoro zbiór jest niepusty i ograniczony z góry, to na mocy aksjomatu ciągłości istnieje (i jest skończone) . Dla każdego , istnieje takie naturalne , że , jako że w przeciwnym wypadku byłoby ograniczeniem górnym , mniejszym od , co przeczy definicji , jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro jest rosnący, to , co oznacza, że granicą ciągu jest

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Uogólnienie tego twierdzenia zostało podane w: John Bibby. Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences. „Glasgow Mathematical Journal”. 15, s. 63–65, 1974. 
  2. Dowód dla ciągu malejącego jest podobny, wykorzystuje się w nim analogiczną własność mówiącą o tym, że niepusty, ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]