Twierdzenie o zwartości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o zwartości to twierdzenie mówiące, że nieskończony zbiór zdań rachunku predykatów pierwszego rzędu jest spełnialny, jeśli tylko każdy jego podzbiór skończony jest spełnialny. Równoważnie, jeśli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego skończony podzbiór, który jest sprzeczny.

Dowody[edytuj]

Za pomocą twierdzenia o pełności[edytuj]

Załóżmy, że nie jest spełnialny. Wówczas na mocy twierdzenia o pełności, zbiór ten jest sprzeczny, a co za tym idzie istnieje dowód zdania fałszywego ze zbioru założeń . Z definicji dowodu wynika, że zbiór elementów zbioru , których użyto w tym dowodzie jest skończony. Oczywiście jest on podzbiorem zbioru i jednocześnie na mocy twierdzenia o zgodności jest on niespełnialny. Kończy to dowód twierdzenia.

Za pomocą twierdzenia Łosia[edytuj]

Każdy skończony podzbiór jest spełnialny, czyli ma model . Niech będzie zbiorem wszystkich skończonych podbiorów zbioru i niech dla dażdego . Wówczas , czyli rodzina ma własność skończonych przekrojów.

Wobec tego, na mocy twierdzenia o ultrafiltrze istnieje taki ultrafiltr , że dla każdego . Wtedy na mocy twierdzenia Łosia ultraprodukt jest modelem zbioru , bo dla każdego zbiór jest elementem ultrafiltru .

Zobacz też[edytuj]