Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy’egotwierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego–Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą , ponadto oznacza funkcję analityczną na obszarze , dla którego . Wówczas

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

.

Zatem możemy zdefiniować całkę

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla jak powyżej określmy funkcję przez
.

Wówczas funkcja jest analityczna oraz

  • Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią , taką że okręgi o środku w i promieniu r (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]