Ułamek łańcuchowy

Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci:

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\stackrel {\ddots }{\ \ \ \ \ a_{k-2}+{\cfrac {1}{a_{k-1}+{\cfrac {1}{a_{k}}}}}}}}}}}}$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\stackrel{\ddots}{{{\ \ \ \ \ a_{k-2}+\cfrac{1}{a_{k-1}+\cfrac{1}{a_k}}}}}}}}$

gdzie a₀ jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby a_n są naturalne i większe od 0.

Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}]\;$$[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_k]\;$.

Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima:

$a_{0}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{1}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{2}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{3}\ }}+\cdots$$a_0 + \frac{\ 1 \mid}{\mid a_1\ } + \frac{\ 1 \mid}{\mid a_2\ } + \frac{\ 1 \mid}{\mid a_3\ } + \cdots$.

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=\lim _{k\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}]\;$$[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]=\lim_{k\to\infty}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_k]\;$.

Jeżeli x jest wartością ułamka $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\;$$[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots]\;$ (skończonego lub nie), to $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]\;$$[a_0;a_1,a_2,\dots,a_n]\;$ nazywamy n-tym reduktem liczby x.

Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco:

$x=[\lfloor x\rfloor ;1/(x-\lfloor x\rfloor )]\;$$x=[\lfloor x \rfloor;1/(x-\lfloor x\rfloor)]\;$,

gdzie $\lfloor x\rfloor$$\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: $a_{0}=\lfloor x\rfloor$$a_0 = \lfloor x \rfloor$, a dalej postępuj podobnie z $1/(x-\lfloor x\rfloor )$$1/(x-\lfloor x\rfloor)$. W nieco bardziej sformalizowanej postaci:

1. $r=x,\,n=0\;$$r = x,\, n = 0 \;$
2. $a_{n}=\lfloor r\rfloor \;$$a_n = \lfloor r\rfloor\;$
3. JEŚLI $r-a_{n}=0\;$$r-a_n=0\;$ – STOP
4. $r=1/(r-a_{n}),\,n=n+1\;$$r = 1/(r - a_n),\, n=n+1 \;$
5. PRZEJDŹ DO 2

Dla x = 2,35, otrzymujemy na przykład:

• $r=2,35={\frac {47}{20}}$$r=2,35=\frac{47}{20}$
• $a_{0}=\lfloor r\rfloor =2$$a_0=\lfloor r\rfloor = 2$
• $r={\frac {1}{{\frac {47}{20}}-2}}={\frac {20}{7}}$$r=\frac{1}{\frac{47}{20}-2}=\frac{20}{7}$
• $a_{1}=\lfloor r\rfloor =2$$a_1= \lfloor r\rfloor = 2$
• $r={\frac {1}{{\frac {20}{7}}-2}}={\frac {7}{6}}$$r=\frac{1}{\frac{20}{7}-2}=\frac{7}{6}$
• $a_{2}=\lfloor r\rfloor =1$$a_2= \lfloor r\rfloor = 1$
• $r={\frac {1}{{\frac {7}{6}}-1}}=6$$r=\frac{1}{\frac{7}{6}-1}=6$
• $a_{3}=\lfloor r\rfloor =6$$a_3= \lfloor r\rfloor = 6$

Zatem:

$2{,}35=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6}}}}}}=[2;2,1,6]$$2{,}35=2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6}}}=[2;2,1,6]$

Dla $p_{n},q_{n}$$p_n, q_n$ zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

$p_{-1}=1,\,q_{-1}=0,\,p_{0}=a_{0},\,q_{0}=1$$p_{-1}=1, \, q_{-1}=0, \, p_0 = a_0, \, q_0=1$

$p_{k+1}=a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}$$p_{k+1}=a_{k+1}p_k+p_{k-1}$

$q_{k+1}=a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}$$q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}$

zachodzi $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]={\frac {p_{n}}{q_{n}}}$$[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_n]=\frac{p_n}{q_n}$. Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.

Dla ułamków skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}+1]=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},1]$$[a_0;a_1,a_2,\dots,a_k+1]=[a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,1]$ czyli rozwinięcie nie jest jednoznaczne. Staje się jednoznaczne przy założeniu że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]$$[a_0;a_1,a_2,\dots,a_k]$ gdzie a₀ jest liczbą całkowitą, $a_{1},\dots ,a_{k}$$a_1,\dots,a_k$ są liczbami naturalnymi, $a_{k}>1$$a_k > 1$.

Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli liczba wymierna ${\frac {p}{q}},q\in \mathbb {N} ,q\neq 0$$\frac{p}{q}, q\in\mathbb{N}, q\neq 0$ jest lepszym przybliżeniem liczby $x\;$$x\;$ niż redukt liczby $x\;$$x\;$ przedstawiony w postaci ułamka nieskracalnego, to mianownik $q\;$$q\;$ tej liczby jest większy od mianownika tego reduktu. Ponadto redukty parzyste szacują liczbę od dołu, a nieparzyste od góry.

Bibliografia

• Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. Warszawa: PWN, 1977, s. 271-285.

Zobacz też

• ułamek dziesiętny
• ułamek dziesiętny nieskończony

Linki zewnętrzne

• Ułamek łańcuchowy (ang.) w encyklopedii MathWorld