Ułamek łańcuchowy

Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci:

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\stackrel {\ddots }{\ \ \ \ \ a_{k-2}+{\cfrac {1}{a_{k-1}+{\cfrac {1}{a_{k}}}}}}}}}}}}$

gdzie a₀ jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby a_n są naturalne i większe od 0.

Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}]\;$.

Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima:

$a_{0}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{1}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{2}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{3}\ }}+\cdots$.

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=\lim _{k\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}]\;$.

Jeżeli x jest wartością ułamka $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\;$ (skończonego lub nie), to $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]\;$ nazywamy n-tym reduktem liczby x.

Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco:

$x=[\lfloor x\rfloor ;1/(x-\lfloor x\rfloor )]\;$,

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: $a_{0}=\lfloor x\rfloor$, a dalej postępuj podobnie z ${\frac {1}{x-\lfloor x\rfloor }}$. W nieco bardziej sformalizowanej postaci:

1. $r=x,\,n=0\;$
2. $a_{n}=\lfloor r\rfloor \;$
3. JEŚLI $r-a_{n}=0\;$ – STOP
4. $r=1/(r-a_{n}),\,n=n+1\;$
5. PRZEJDŹ DO 2

Dla x = 2,35, otrzymujemy na przykład:

• $r=2,35={\frac {47}{20}}$
• $a_{0}=\lfloor r\rfloor =2$
• $r={\frac {1}{{\frac {47}{20}}-2}}={\frac {20}{7}}$
• $a_{1}=\lfloor r\rfloor =2$
• $r={\frac {1}{{\frac {20}{7}}-2}}={\frac {7}{6}}$
• $a_{2}=\lfloor r\rfloor =1$
• $r={\frac {1}{{\frac {7}{6}}-1}}=6$
• $a_{3}=\lfloor r\rfloor =6$

Zatem:

$2{,}35=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6}}}}}}=[2;2,1,6]$

Dla $p_{n},q_{n}$ zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

$p_{-1}=1,\,q_{-1}=0,\,p_{0}=a_{0},\,q_{0}=1$

$p_{k+1}=a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}$

$q_{k+1}=a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}$

zachodzi $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]={\frac {p_{n}}{q_{n}}}$. Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.

Dla ułamków skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}+1]=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},1]$ czyli rozwinięcie nie jest jednoznaczne. Staje się jednoznaczne przy założeniu że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]$ gdzie a₀ jest liczbą całkowitą, $a_{1},\dots ,a_{k}$ są liczbami naturalnymi, $a_{k}>1$.

Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli liczba wymierna ${\frac {p}{q}},q\in \mathbb {N} ,q\neq 0$ jest lepszym przybliżeniem liczby $x\;$ niż redukt liczby $x\;$ przedstawiony w postaci ułamka nieskracalnego, to mianownik $q\;$ tej liczby jest większy od mianownika tego reduktu. Ponadto redukty parzyste szacują liczbę od dołu, a nieparzyste od góry.

Bibliografia

• Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. Warszawa: PWN, 1977, s. 271-285.

Zobacz też

• ułamek dziesiętny
• ułamek dziesiętny nieskończony

Linki zewnętrzne

• Ułamek łańcuchowy (ang.) w encyklopedii MathWorld