Ułamek łańcuchowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci:

gdzie a0 jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby annaturalne i większe od 0.

Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako:

.

Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima:

.

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

.

Jeżeli x jest wartością ułamka (skończonego lub nie), to nazywamy n-tym reduktem liczby x.

Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco:

,

gdzie oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: , a dalej postępuj podobnie z . W nieco bardziej sformalizowanej postaci:

  1. JEŚLI STOP
  2. PRZEJDŹ DO 2

Dla x = 2,35, otrzymujemy na przykład:

Zatem:

Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

zachodzi . Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.

Dla ułamków skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi czyli rozwinięcie nie jest jednoznaczne. Staje się jednoznaczne przy założeniu że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie a0 jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, .

Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli liczba wymierna jest lepszym przybliżeniem liczby niż redukt liczby przedstawiony w postaci ułamka nieskracalnego, to mianownik tej liczby jest większy od mianownika tego reduktu[1]. Ponadto redukty parzyste szacują liczbę od dołu, a nieparzyste od góry.

Przypisy

  1. Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: PWN, 1959, s. 249-250.

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]