Ułamek dziesiętny nieskończony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej za pomocą szeregu liczbowego w postaci:

gdzie liczbami naturalnymi, przy czym dla

Znak przed nawiasem jest taki sam, jak znak liczby .

Zapis liczby dodatniej w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby i przedstawia się go jako:

Tutaj to cyfry rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek odddziela część całkowitą liczby od jej mantysy.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(zobacz na temat liczby 0,99999...)

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x≠0, poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby x w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.
Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x, poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby x w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne[1].

Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętny[edytuj | edytuj kod]

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby a0,a1, a2, ... dla danej liczby rzeczywistej x.

Niech |z| oznacza wartość bezwzględną, a [z] część całkowitą liczby z.

liczba jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby π mamy:

  1. b0 = π, a0 = 3
  2. b1 = 1,41592653589793238462..., a1 = 1,
  3. b2 = 4,1592653589793238462..., a2 = 4,

itd.

Ułamek dziesiętny skończony[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby x od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy x jest liczbą wymierną x = p/q, przy czym q = 2k·5l, gdzie k i l są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(24 · 53)

Ułamek dziesiętny okresowy[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno "w nieskończoność". Na przykład:

13,54545454... – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok "54";
2,907645645645... – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok "645";

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:

2,71 = 2,7100000... – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok "0";

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład, liczba 0,1234567891011121314... (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły[edytuj | edytuj kod]

Dana jest liczba u = 23,61709709709... Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

  1. oblicz 100u = 2361,709709... – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 100000u = 2361709,709709... – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 100000u – 100u = 2361709,709709... – 2361,709709... = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 2359348/99900

Kolejny przykład: u = 0,031313131...

  1. oblicz 10u = 0,313131... – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 1000u = 31,313131... – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 1000u – 10u = 31,313131... – 0,313131... = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 31/990

Rozwinięcia na ułamki o dowolnej podstawie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli g jest liczbą naturalną i g>1, to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą a można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego[2]:

gdzie są liczbami naturalnymi oraz dla n=1,2,...

Liczby a1, a2, ... nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie g.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od g–1. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 31-33.
  2. W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 27-36.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948.
  • G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe 1962.