Układ liniowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

Układ liniowy to matematyczny model układu regulacji oparty na przekształceniu liniowym. Będąc matematyczną abstrakcją i swoistą idealizacją, układ liniowy odznacza się znacznie prostszymi własnościami niż układ nieliniowy.

W świecie fizycznym układy liniowe faktycznie nie istnieją - bardzo surowe warunki jakie implikuje model liniowy nie są realizowalne - w szczególności wymóg aby żadna zmienna nie była ograniczona stoi w sprzeczności zarówno z ziarnistością, obserwowaną w fizycznym świecie mikroskopowym, jak i odczuciem, że fizyczne rzeczy nie mogą być dowolnie duże. Model liniowy stosuje się więc tylko wówczas gdy uda się znaleźć pewien zakres wartości zmiennych, dla których model liniowy nie odbiega znacząco od faktycznie nieliniowego układu fizycznego (zob. też linearyzacja). Mimo to modele liniowe są bardzo często stosowane, znajdują ważne zastosowania w teorii sterowania, w przetwarzaniu sygnałów i w telekomunikacji. Na przykład w przypadku systemów łączności bezprzewodowej medium, w którym następuje rozprzestrzenianie się fal można modelować za pomocą układu liniowego.

Ogólny model deterministyczny można stworzyć wykorzystując operator H, który przekształca sygnał wejściowy x(t) (określony funkcją zmiennej t) na sygnał wyjściowy y(t) - jest to więc model o charakterze "czarnej skrzynki". Układ liniowy spełnia następujące własności:

Powyższe własności można ująć w jeden warunek liniowości: Jeśli dane są dwa sygnały wejściowe

x_1(t) \,
x_2(t) \,

i odpowiadające im sygnały wyjściowe

y_1(t) = H \left \{ x_1(t) \right \}
y_2(t) = H \left \{ x_2(t) \right \}

wówczas dla dowolnych wartości skalarnych

\alpha \, i \beta \,

układ liniowy musi spełniać następującą zależność:

\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \} .

Zachowanie układu liniowego w odpowiedzi na złożony sygnał wejściowy można więc opisać za pomocą sumy odpowiedzi na prostsze sygnały wejściowe. W przypadku układów nieliniowych taka własność nie jest zachowana. Ta matematyczna własność sprawia, że znalezienie rozwiązania równań opisujących układ liniowy jest znacznie prostsze niż w przypadku równań, które opisują układ nieliniowy.

Opis za pomocą układu liniowego jest łatwo rozpoznawalny - ma charakter zależności liniowych a więc w równaniach nie występują żadne iloczyny ani potęgi zmiennych a ewentualne współczynniki tych równań (czyli parametry układu) nie zależą od zmiennych. Układy liniowe opisuje się ogólnie rzecz ujmując operatorami liniowymi, w szczególności liniowymi równaniami różniczkowymi (zwyczajnymi lub cząstkowymi), liniowymi równaniami różnicowymi, całkowymi lub liniowymi równaniami algebraicznymi. Układy nieliniowe opisuje się ogólnie rzecz ujmujac operatorami nieliniowymi, w szczególności nieliniowymi równaniami różniczkowymi (zwyczajnymi lub cząstkowymi), nieliniowymi równaniami różnicowymi, całkowymi lub nieliniowymi równaniami algebraicznymi.

W przypadku układów stacjonarnych opis za pomocą układu liniowego stanowi podstawę dla metod wykorzystujących charakterystyki impulsowe oraz dla metod częstotliwościowych (metod, w których korzysta się z charakterystyk częstotliwościowych). Metody te modelują funkcję x(t) sygnału wejściowego za pomocą odpowiednio: impulsów jednostkowych lub składowych harmonicznych. Zagadnienia te są przedmiotem uwagi w teorii stacjonarnych układów liniowych (ang. LTI - linear time-invariant system).

Typowe stacjonarne układy liniowe opisane równaniami różniczkowymi można w prosty sposób analizować wykorzystując, w przypadku układów ciągłych: transformatę Laplace'a a w przypadku układów dyskretnych: transformatę Z. Dla typowych układów liniowych znane są ich własności i układy te posiadają rozwiązania analityczne, które łatwo wyliczyć.

Jeszcze jedna perspektywa wynika stąd, że rozwiązania układów linowych stanowią zbiór funkcji, które w geometrycznym sensie zachowują się jak wektory.

Modele liniowe, dogodne z matematycznego punktu widzenia, często stosuje się do opisu układów nieliniowych, które wcześniej zostały zlinearyzowane.