Układ równań

Układ równań – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań.

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układy równań liniowych

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

• przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
• przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
• wzory Cramera,
• metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Nazwa układu równań	Rozwiązanie algebraiczne	Warunek i przykład	Interpretacja graficzna
Oznaczony	rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)	$W\neq 0,$ ${\begin{cases}x-y=4\\[2pt]2x+y=5\end{cases}}$	dwie proste przecinające się
Nieoznaczony	nieskończenie wiele rozwiązań	$W=0,~W_{x}=W_{y}=0$ ${\begin{cases}4x+5y=2\\[2pt]8x+10y=4\end{cases}}$	dwie proste pokrywające się
Sprzeczny	brak rozwiązań	$W=0,~W_{x}\neq 0$ lub $W_{y}\neq 0$ ${\begin{cases}x+y=3\\[2pt]x+y=8\end{cases}}$	dwie różne proste równoległe