Układ współrzędnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Prawoskrętny układ współrzędnych

Układ współrzędnychodwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu[1].

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest

  1. ustalenie punktu początkowego (tzw. początek układu)
  2. ustalenie bazy wektorów przestrzeni , za pomocą których można wyrazić wektory wodzące punktów przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj.

Współczynniki stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy tzw. osią liczbową.

Np. oś liczbowa ma postać:

The number line


Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:

  1. dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy, itp. wystarczy 1 współrzędna
  2. dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny , powierzchni kuli, itp. potrzebne są 2 współrzędne
  3. dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni , kuli, itp. potrzebne są 3 współrzędne
  4. dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych
  5. dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych. Np.

  1. dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową
  2. dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne
  3. dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne lub sferyczne

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych , przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się

  • układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe
  • układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]