Układ współrzędnych
Układ współrzędnych – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu[1].
Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest
- ustalenie punktu początkowego (O, ang origin), tzw. początek układu,
- ustalenie bazy wektorów przestrzeni , za pomocą których można wyrazić wektory wodzące punktów przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj. .
Współczynniki stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.
W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy tzw. osią liczbową.
Np. oś liczbowa ma postać:
Spis treści
Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni[edytuj | edytuj kod]
Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:
- dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna
- dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny , powierzchni kuli itp. potrzebne są 2 współrzędne
- dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni , kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne
- dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych
- dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.
W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych. Np.
- dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową
- dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne
- dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne lub sferyczne
Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność
Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]
(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.
(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się
- układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe
- układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi
(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.
Rodzaje układów współrzędnych[edytuj | edytuj kod]
- układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych)
- układ współrzędnych biegunowych (polarnych)
- układ współrzędnych walcowych (cylindrycznych)
- układ współrzędnych sferycznych
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
- państwowy system odniesień przestrzennych
- transformacja współrzędnych
- układ odniesienia
- układ wysokościowy
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- OGP Geomatics Committee, Rejestr układów /systemów współrzędnych na świecie (ang.)
- spatialreference.org, Wykaz układów /systemów współrzędnych na świecie (ang.)
- CRS-EU Operator, Lista układów / systemów współrzędnych i wysokości w Europie (ang.)