Układ współrzędnych biegunowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt zwany biegunem oraz półprostą o początku w punkcie zwaną osią biegunową.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Polar coordinate system.svg

Każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu to jego odległość od bieguna,
  • amplituda punktu to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą a wektorem

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna są równe O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge’a[2] pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym „obrotem”).
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
  • Isaac Newton[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskim[edytuj | edytuj kod]

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański oraz układ biegunowy z biegunem i osią biegunową

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego[edytuj | edytuj kod]

Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:

Jakobian przejścia wynosi

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

[7][6].

Jeśli i to z definicji funkcji tangens:

[7],

zatem amplituda tego punktu jest dana wzorem:

[8]

(o ile dopuszczamy ujemne wartości ).

Natomiast aby otrzymać należy rozważyć następujące przypadki:

gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów można ten zapis uprościć do

gdzie oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym[edytuj | edytuj kod]

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg[edytuj | edytuj kod]

Okrąg o równaniu

Okrąg o środku w punkcie i promieniu jest opisany przez równanie

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

Róża[edytuj | edytuj kod]

Róża o równaniu

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

gdzie jest dowolną stałą, jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a jest parametrem wyznaczającym ilość i formę „płatków” róży.

Jeśli jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków, a jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków. Dla innych wartości kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa[edytuj | edytuj kod]

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu dla

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

Parametry w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana spowoduje obrócenie krzywej, a wartość wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta[edytuj | edytuj kod]

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

gdzie to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

i przecina ją w punkcie zadana jest przez równanie

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji[edytuj | edytuj kod]

Tak jak w układzie kartezjańskim powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na prostokąty o wymiarach gdzie jest wartością funkcji dla argumentu zaś jest różniczką tegoż argumentu, można poprzez analogię w układzie współrzędnych biegunowych, podzielić powierzchnię wykresu funkcji na trójkąty równoramienne, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, drugie są częścią wykresu, zaś trzecie znajdują się obok drugich i jednocześnie w tej samej odległości od bieguna, co te drugie, przy czym długość obu ramion jest równa gdzie jest wartością funkcji dla argumentu zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu. Skorzystamy tutaj z jednego ze wzorów na pole powierzchni trójkąta, które jest równe połowie iloczynu długości jego ramion i sinusa kąta zawartego między nimi. W naszym przypadku różniczka powierzchni będzie równa:

Ponieważ otrzymujemy:

Tak więc pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji wyraża się wzorem:

Długość łuku wykresu funkcji[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: i są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia wynosi drugiego dla argumentu długość podstawy jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu umieszczamy punkt który dzieli to ramię w ten sposób, że zaś W ten sposób podzieliliśmy trójkąt na 2 mniejsze: równoramienny (o podstawie ) i Kąt oznaczmy jako zaś kąt – jako Kąty i znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa

Ponieważ więc:

Kąty i są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa

Ponieważ więc:

Skoro więc kąt znajduje się w trójkącie to trójkąt ten można uznać za prostokątny, a skoro tworzą go boki i to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

Długość podstawy można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

Powyższe otrzymane wyrażenie podstawiamy do wcześniejszej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa:

Ponieważ otrzymujemy:

Tak więc różniczka łuku wykresu funkcji w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

Długość łuku wykresu funkcji wyraża się wzorem:

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej

(Powyżej, to moduł liczby a to jej argument).

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

gdzie to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wyd. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
  3. Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.).
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671).
  5. Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  6. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
  7. a b Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  8. Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.