Układ współrzędnych biegunowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Definicja[edytuj]

Polar coordinate system.svg

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
  • amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe . O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).

Rys historyczny[edytuj]

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge'a[2] pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
  • Isaac Newton[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskim[edytuj]

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański oraz układ biegunowy z biegunem i osią biegunową .

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego[edytuj]

Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu P, jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:

Jakobian przejścia wynosi

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego[edytuj]

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich . Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

[7][6].

Jeśli i , to z definicji funkcji tangens:

[7],

zatem amplituda tego punktu jest dana wzorem:

[8]

(o ile dopuszczamy ujemne wartości ).

Natomiast aby otrzymać , należy rozważyć następujące przypadki:

gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów można ten zapis uprościć do

gdzie oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym[edytuj]

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg[edytuj]

Okrąg o równaniu

Okrąg o środku w punkcie i promieniu jest opisany przez równanie

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

Róża[edytuj]

Róża o równaniu

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

,

gdzie jest dowolną stałą, jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa[edytuj]

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu dla

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

Parametry w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta[edytuj]

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

,

gdzie to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

i przecina ją w punkcie , zadana jest przez równanie

.

Liczby zespolone[edytuj]

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej :

.

(Powyżej, to moduł liczby , a to jej argument.)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

gdzie e to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Leja, Franciszek: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952), strony 78-85.
  3. Cavalieri, Bonaventura: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.)
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671.)
  5. Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  6. a b I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew: Matematyka : poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
  7. a b Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  8. Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.