Ultraprodukt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Uwagi historyczne[edytuj]

Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930[1] można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgi[2]. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948[3] w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w 1955[4].

Definicja[edytuj]

Niech τ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego w modelu będziemy oznaczać przez (tak więc jest relacją n-arną na uniwersum M modelu , gdzie n jest arnością symbolu relacyjnego R). Podobnie, jeśli jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu będzie oznaczana przez (tak więc, jest funkcją z w ). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet .

Załóżmy, że I jest zbiorem nieskończonym oraz F jest filtrem podzbiorów I. Przypuśćmy też, że dla każdego ustaliliśmy model z uniwersum .

Definiujemy produkt zredukowany

rodziny modeli w sposób następujący.

(a) Na produkcie kartezjańskim
określamy relację dwuczłonową warunkiem
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz)
Relacja jest relacją równoważności. Niech będzie zbiorem klas abstrakcji relacji .
(b) Jeśli jest n-arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację następująco:
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) .
Należy zauważyć, że jeśli są takie, że (dla ), to
.
Stąd wynika, że powyższa definicja relacji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.
(c) Jeśli jest n-arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację następująco:
przypuśćmy, że . Połóżmy dla (tak więc ). Określamy
.
Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli są takie, że (dla ), to
,
a więc powyższa definicja funkcji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany

to model z uniwersum w którym interpretacje symboli z alfabetu τ dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli F jest ultrafiltrem (tzn. maksymalnym filtrem właściwym), to model

jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli .

Jeśli F jest ultrafiltrem oraz dla wszystkich (czyli wszystkie modele są identyczne), to model

jest nazywany ultrapotęgą modelu . W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji zamiast

.

Przykładowe wyniki i zastosowania[edytuj]

  • Twierdzenie Łosia:
Przypuśćmy, że jest alfabetem języka pierwszego rzędu, F jest ultrafiltrem na zbiorze I, jest modelem języka (dla ) oraz jest formułą języka której zmienne wolne zawarte są wśród . Niech . Wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Założmy, że są jak powyżej, jest modelem języka . Dla niech będzie funkcją stałą daną przez (dla ) oraz niech . Wówczas funkcja jest zanurzeniem elementarnym modelu w jego ultrapotęgę , tzn. jest funkcją różnowartościową oraz
wtedy i tylko wtedy, gdy .
W szczególności, ultrapotęga jest elementarnie równoważna z (tzn. te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim).
  • Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy, że:
  • Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy użyty ultrafiltr jest σ-zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych σ-zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.)
  • Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peano (PA) czy też modeli analizy niestandardowej[5]. W tym ostatnim kontekście warto zacytować następujący wynik:
  • Twierdzenie Rabina-Keslera[6][7]: Niech τ będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że κ jest liczbą kardynalną, na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas
każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy .

Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli[edytuj]

Niech τ będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet .

  • Twierdzenie Keislera o ultrapotęgach[8]: Załóżmy GCH. Niech , będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej . Wówczas
jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i izomorficzne.
  • Twierdzenia Shelaha[9][10]:
    • Niech , będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej . Wówczas
jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i izomorficzne.
W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.
    • Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC:
Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy takie, że żadne ich ultrapotęgi , nie są izomorficzne.
Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruował odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. "Monatshefte f. Math", 37 (1930), s. 349-360.
  2. Bell, J. L.; Slomson, A. B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.
  3. Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948), s. 45-99.
  4. Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. "Mathematical interpretation of formal systems", North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98-113.
  5. Robinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. ISBN 0-691-04490-2.
  6. Rabin, M. O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. "Indag. Math." 21 (1959), s. 439-446.
  7. Keisler, H. J.: Limit ultrapowers. Transactions of the American Mathematical Society 107 (1963), s. 382-408.
  8. Keisler, H. J.: Ultraproducts and elementary classes. "Indag. Math." 23 (1961), s. 477-495.
  9. Shelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233
  10. Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357-405.