Uzwarcenie Čecha-Stone’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Uzwarcenie Čecha-Stone’a – maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania . Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a[2] w 1937.

Określenie i konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu wagi jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli i są uzwarceniami danej przestrzeni to można zdefiniować między nimi relację

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła spełniająca warunek

Ponadto, jeżeli

oraz

to istnieje homeomorfizm spełniający warunek

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni jest klasą właściwą. Relacja pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji – zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony, jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby gdzie oznacza gęstość przestrzeni Spostrzeżenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni z podzbiorem kostki Tichonowa co pozwala już rozważać zbiór (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w istnieje element największy – element ten oznaczany jest symbolem i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni

Własności[edytuj | edytuj kod]

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone’a przestrzeni Następujące twierdzenie[3], podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną Wówczas ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie które ma następujące równoważne własności:

  1. każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni w zwartą przestrzeń może być przedłużone (jednoznacznie) na
  2. każde uzwarcenie przestrzeni jest ciągłym obrazem przestrzeni przez odwzorowanie które jest identycznością na
  3. każda ograniczona funkcja ciągła ma przedłużenie ciągłe na
  4. jeśli są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na to
  1. rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z w mają rozłączne domknięcia w
  2. każde dwa podzbiory oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w
  3. każdy punkt w jest granicą jedynego -ultrafiltru na

Konstrukcja [edytuj | edytuj kod]

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące Niech będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w odcinek domknięty i niech zbiór wszystkich funkcji z w będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka Wyposażmy w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

Sprawdza się, że jest homeomorfizmem z na (gdzie jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni ). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń jest zwarta. Niech będzie domknięciem w Wówczas jest uzwarceniem przestrzeni

Dla funkcji ciągłej rozważmy funkcję daną przez warunek Można łatwo zweryfikować, że jest funkcją ciągłą oraz dla Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Uzwarcenie przestrzeni liczb naturalnych[edytuj | edytuj kod]

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów

Niech będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na Dla zbioru niech

Wówczas rodzina

jest bazą pewnej topologii na Przestrzeń topologiczna jest zwartą przestrzenią a funkcja

odwzorowująca liczbę na ultrafiltr główny generowany przez jest zanurzeniem homeomorficznym którego obraz jest gęsty w Zatem jest uzwarceniem przestrzeni i można sprawdzić że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a.

Przykładowe własności

  • Przestrzeń jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi (istnieje przy tym baza mocy złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
  • jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
  • jest mocy
  • Jeśli to nie jest zbiorem typu Gδ.
  • Jeśli CH jest prawdziwa i to nie jest przestrzenią normalną.
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy jest ciągłym obrazem
  • zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym ).
  • Przestrzeń Banacha jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Eduard Čech, On bicompact spaces, „Ann. of Math.” (2) 38 (1937), no. 4, s. 823–844.
  2. Marshall H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology, „Transactions of the American Mathematical Society” 41 (1937), no. 3, s. 375–481.
  3. Russell C. Walker, The Stone-Čech compactification, „Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete”, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ​ISBN 0-387-06699-3​.