Własność Radona-Nikodýma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Własność Radona-Nikodýma – własność przestrzeni Banacha, która pozwala na rozszerzenie klasycznego twierdzenia Radona-Nikodýma na miary wektorowe o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, twierdzenie Rademachera) na funkcje o wartościach wektorowych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń X ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą (Ω, μ), gdy dla każdej miary wektorowej o ograniczonym wahaniu, która jest bezwzględnie ciągła względem μ istnieje taka funkcja

całkowalna w sensie Bochnera (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary ), że

dla każdego μ-mierzalnego zbioru A. Przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą probabilistyczną.[1]

Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ1[edytuj | edytuj kod]

Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech będzie miarą wektorową o wartościach w przestrzeni ℓ1, która jest bezwględnie ciągła względem μ, tj. dla wszelkich zbiorów μ-mierzalnych A zachodzi warunek

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ1 są ciągi, można zapisać

Każda z miar skalarnych jest bezwzględnie ciągła względem μ, więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne

o tej własności, że

Funkcja

przyjmuje wartości w ℓ1 dla prawie wszystkich ω oraz jest pochodną Radona-Nikodýma .[2]

Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska

jest różniczkowalna prawie wszędzie.

L1 nie ma własności Radona-Nikodýma[edytuj | edytuj kod]

Używając powyższej charaktryzacji można wykazać, że przestrzeń L1[0,1] nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja

dana wzorem

spełnia warunek Lipschitza ponieważ jest izometrią. Dla

wyrażenie

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym s oraz ts.[3]

Twierdzenie Lindenstraussa[edytuj | edytuj kod]

Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny[4].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

  • przestrzenie
  • przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na X, gdy lub

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
  2. G.A. Edgar, Louis Sucheston: Stopping Times and Directed Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1992, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications (47).
  3. David Preiss, Joram Lindenstrauss, Jaroslav Tišer: Frechet Differentiability of Lipschitz Functions and Porous Sets in Banach Spaces. Princeton University Press, 2012, seria: Annals of Mathematics Studies.