Własność skończonych przekrojów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Własność skończonych przekrojów – własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja formalna[edytuj]

Mówimy, że rodzina zbiorów ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych , , mamy że .

Często zamiast mówić, że ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ma fip, używając skrótu od ang. finite intersection property.

Przykłady, własności, zastosowanie[edytuj]

  • Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:
(i) gdzie są zbiorami niepustymi,
(ii) ,
(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych które mają dopełnienie skończone,
(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka które mają miarę Lebesgue'a 1.
  • Jeśli jest rodziną podzbiorów zbioru z własnością skończonych przekrojów, to zbiór
dla pewnych ,
jest filtrem podzbiorów . Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów zawierający . (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC.)
(a) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,
(b) jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też[edytuj]