Wahadło sferyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wahadło sferyczne - punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie. Swobodę ruchu wahadła ogranicza tylko nić.

Wahadło sferyczne ma położenie równowagi w którym nić wahadła jest pionowa.[1]

Wahadło takie w ogólności porusza się po elipsie wykreślonej na powierzchni sfery ograniczającej ruch wahadła.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze systematyczne prace nad badaniem ruchu wahadła sferycznego prowadził w drugiej połowie XVII wieku Christiaan Huygens, w swej pracy dotyczącej konstrukcji dokładnego zegara z wahadłem stożkowym wymienia kilkanaście związków między prędkością, promieniem, okresem ruchu wahadła stożkowego i ich znaczenie w praktycznej konstrukcji zegara[2].

W publikacji z 1735 roku Clairaut znajduje wyrażenia na małą zmianę położenia wahadła i zapisuje wyrażenia całkowe na ruch wahadła sferycznego i wskazuje że nie można ich rozwiązać analitycznie. Zapisuje wyrażenia na najmniejszą i największą wysokość wahadła w zależności od jego położenia i prędkości początkowej. Znajduje zależność czasu wahnięcia od wysokości maksymalnej wahadła. Rozwiązuje niektóre szczególne przypadki ruchu wahadła.

Postęp w analizie wahadła wnosi nowy formalizm analizy ruchu prowadzony przez Lagrange w 1788 roku. Choć nie zachowały się publikacje Lagranga opisujące rozwiązania wahadła, to autorzy podręczników z XIX w odsyłają do prac Lagranga.

W XIX wahadło sferyczne nie wzbudzało większego zainteresowania, było kilka krótkich prac na jego temat, jedną z nich były praca Puiseux z 1842 roku, w której autor koncentruje się na własnościach orbity, a nie na szukaniu pełnego rozwiązania. Udowadnia matematycznie, obserwowane własności orbity. Bez względu na parametry początkowe ruchu minimalna wysokość wahadła jest poniżej punktu zawieszenia (kąt większy od 90°). W płaszczyźnie poziomej ruchu wahadła opisuje elipsa, której osie obracają się (precesja) w tym samym kierunku w którym obciążnik obiega elipsę. W 1851 roku B.G. Airy formułuje wzór na precesję wahadła[3], wykonuje eksperymenty z ruchem wahadła[4]

Richelot wydaje pracę, w której rozważa wahadło w przybliżeniu małych drgań jako równania i rozpatruje zaburzenia jego ruchu w wyniku wzrostu amplitudy, oporów.

Prawdopodobnie jako pierwszy w 1852 roku Tissot wprowadza nową teorię całek funkcji eliptycznych do opisu wahadła sferycznego.


Przybliżenie małego kąta wychyleń[edytuj | edytuj kod]

Dla małych kątów wychyleń można przyjąć, że sin \theta = \theta, wówczas równania ruchu można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych:

m {d^2 x \over dt^2}= - \frac {mg} {l} x
m {d^2 y \over dt^2}= - \frac {mg} {l} y

Rozwiązania można zapisać jako:

x(t)=A \cos(\omega t +\phi_x)
y(t)=B \cos(\omega t +\phi_y)

Gdzie:

\omega^2 = \frac g l

W tym przybliżeniu wahadło takie bez względu na warunki początkowe wykonuje drgania z częstotliwością taką samą jak wahadło matematyczne.

Stałe ruchu A_x, A_y, \phi_x, \phi_y określa się na podstawie warunków początkowych ruchu wahadła[1]. Przyjmując, że w chwili t= 0 wahadło znajduje się w punkcie nawrotu (x <> 0, y = 0, Vx <> 0 i Vy = 0), to równania ruchu można zapisać:

x(t) = A \cos(\omega t)
y(t) = B \sin(\omega t)

Są to równania parametryczne elipsy o półosiach A i B. Wahadło porusza się po elipsie bez zmiany płaszczyzny osi elipsy.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne wahadła

Położenie wahadła można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych lub w sferycznym o początku w punkcie zawieszenia wahadła. Oś z jest pionowa.

Związki między współrzędnymi[5]:

 x = l\sin \theta \cos \phi
 y = l\sin \theta \sin \phi
 z = l\cos \theta

Energia potencjalna i kinetyczna wahadła:

 E_p = mgz = -mgl \cos \theta
 E_k = \frac {m v^2} 2 = \frac 1 2 m l^2(\dot \theta^2 + \sin^2 \theta \dot \phi^2)

Lagranżjan dla tego układu wynosi:

L =\frac 1 2 ml^2(\dot \theta^2 + sin^2 \theta \dot \phi^2) + mgl \cos \theta

Pochodna względem szybkości zmiany kąta θ jest momentem pędu wahadła względem osi z i jest stała:

M_z = \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = m l^2 sin^2 \theta \dot \phi

Równanie ruchu whadła:

 \frac d {dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0

Z równania ruchu wynika:

 \ddot \theta + \frac g l \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \dot \phi^2 = 0

W ogólności równania nie można rozwiązać metodami analitycznymi.

Wahadło proste[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli φ jest stałe, wówczas jego pochodna jest równa 0, skutkuje tym, że trzeci wyraz jest równy 0, wówczas równanie sprowadza się do równania wahadła matematycznego.

 \ddot \theta + \frac g l \sin \theta = 0

Wahadło takie porusza się w płaszczyźnie.

Wahadło stożkowe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wahadło nie zmienia swej odległości od punktu równowagi (θ jest stała), równanie sprowadza się do:

 \frac g l =  \cos \theta \dot \phi^2

Co prowadzi do wyrażeń na częstość i okres wahadła:

\omega = \dot \phi = \sqrt {\frac {g} {l \cos \theta}} = \frac {\omega_0} {\sqrt{\cos \theta}}

Wahadło porusza się po poziomym okręgu, a powyższe równanie określa prędkość kątową ciała w tym ruchu. Promień okręgu wynosi:

 R = l \cos \theta

Dla małych promieni częstość, a tym samym i okres drgań, jest taki jak dla wahadła prostego. W miarę wzrostu częstości rośnie wychylenie.

Precesja[edytuj | edytuj kod]

Tor ruchu wahadła sferycznego.

Przyjmując, że wahadło sferyczne jest zaburzonym wahadłem stożkowym, wprowadzając oznaczenie

 \theta = \theta_0 + \partial \theta

gdzie:

 \theta_0 - częstość wahadła stożkowego

Po rozłożeniu równania wahadła w szereg Taylora i pozostawiając jedynie wyrazy pierwszego stopnia, w przybliżeniu:

 \partial \ddot \theta + \dot \phi_0^2(1+3cos^2 \theta_0)\partial \theta \approx 0

Rozwiązaniem tego równania jest:

\theta \approx \theta_0 +\partial \theta_0 \cos(\Omega t)

gdzie:

\Omega = \dot \phi_0 \sqrt{1+3\cos^2\theta_0}

Zatem kąt θ wykonuje prosty ruch harmoniczny o średniej wartości θ0, zmieniając się z częstością kątową Ω.

Teraz kąt φ jest zwiększony o

\Delta \phi \approx \dot \phi_0 \frac \pi \Omega = \frac \pi {\sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta_0}}

Kąt nachylenia względem pionowej, θ, przechodzi pomiędzy kolejnymi maksimami i minimami. Jeżeli, θ0 jest mały, to Δφ jest nieco większa niż π/ 2. Skoro, Δφ jest nieco większa niż π/2 (90°) oznacza, że kształt ten precesuje wokół osi z w tym samym kierunku co obrót wahadła. Precesja wzrasta gdy kąt nachylenia θ0wzrasta.

Dla wahadła poruszającego się prawie w płaszczyźnie, precesję określa przybliżony wzór na prędkość kątową obrotu osi elipsy (precesja Airy)[6]:

 \omega_{pr} = \frac {3 A} {4 l^2 T} = \frac 3 8 \frac {ab} {l^2} \omega_w = \frac 3 8 \frac {ab} {g^2} \omega_w^5 \,

gdzie:

  • a, b - półosie elipsy,
  • g - przyspieszenie ziemskie,
  • ωw - częstość kołowa wahadła.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Frank C. Crawford: Fale. Warszawa: PWN, s. 31 - 34.
  2. Kathrin Fuchss: Periodic Orbit Bifurcations and Breakup of Shearless Invariant Tori in Nontwist Systems. 2006. [dostęp 2013-06-23].
  3. Vibration of a Free Pendulum. [dostęp 2013-06-25].
  4. George Biddell Airy: Pendulum-experiments at harton pit. 1855. [dostęp 2013-06-25].
  5. Spherical Pendulum. [dostęp 2013-06-22].
  6. Richard Crane. Short Foucault pendulum. „Physics Departament. Universytety of Michigan”, 20.05.1981. |data dostępu = 2013-0608