Wahanie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wahaniem funkcji na przedziale nazywamy wielkość

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach przedziału . Jeśli funkcja ma skończone wahanie, to mówimy, że jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Przykłady[edytuj]

Jeśli funkcja jest monotoniczna, to

Jeśli jest funkcją charakterystyczną zbioru wszystkich liczb wymiernych z przedziału , to .

Niech będzie dana wzorem dla i . Wówczas jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja dana wzorem dla i ma wahanie skonczone.