Warstwa (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Warstwapodzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupę[a].

Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupy[b]; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. Definicja i Własności). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną. Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. Normalność).

Motywacja[edytuj]

Graf przedstawia funkcję, która wprowadza podział w zbiorze mianowicie dzieli ona dziedzinę na dwa zbiory oraz będące włóknami odpowiednio nad elementami tworzącymi obraz zbioru który można utożsamiać z rzutem kanonicznym wprowadzanej relacji równoważności. Uwaga: włókna mogą mieć dowolną, niezerową liczbę elementów; analogiczna konstrukcja dla grup wymusza, by włókna (warstwy) były równoliczne.

Podział zbioru można przeprowadzić określając na nim relację równoważności która podzieli go na rozłączne, niepuste i sumujące się do klasy o wskazanej przez własności. Każdą relację na można z kolei wprowadzić za pomocą pewnej funkcji dwa elementy pozostają ze sobą w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy w funkcji są równe,

mówi się też wtedy, że należą do jądra funkcji

Innymi słowy utożsamiane są te elementy dziedziny, które w obrazie przekształcane są na ten sam element zbiór tych elementów dziedziny, czyli nazywa się włóknem bądź poziomicą albo warstwicą nad Obraz można z kolei utożsamiać ze zbiorem klas równoważności czyli funkcja wyznacza i jest wyznaczana przez odwzorowanie ilorazowe

Powyższe obserwacje można zastosować do homomorfizmu grup przy czym w tym przypadku jądro jest podgrupą w [c]. Otrzymuje się wtedy relację równoważności (podział) w której charakterystyczną własnością jest to, iż jest jedną z jej klas równoważności; w ogólności są one postaci dla [d][e], a ponadto są równoliczne (zob. Własności, por. rysunek obok). Bezpośrednio stąd wynika, tak jak w opisanym wyżej przypadku teoriomnogościowym, że elementy odpowiadają wprost warstwom [f], tzn. obraz można utożsamiać ze zbiorem warstw grupy względem [g].

Podział grupy na warstwy względem podgrupy jest więc pojęciem węższym, a przede wszystkim algebraicznie bardziej użytecznym, od dowolnego podziału (zbioru elementów) grupy – tego rodzaju konstrukcję nazywa się kongruencją (przystawaniem). W ogólności przyjmuje się, że może być dowolną podgrupą w co sprawia, że wyznacza ona dwie, potencjalnie różne relacje równoważności; podgrupa wyznacza jeden podział wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem homomorfizmu[h] – do tego zaś potrzeba, a zarazem wystarcza, by była ona normalna (zob. osobna sekcja).

Definicja[edytuj]

 Zobacz też: grupapodgrupa.

Niech będzie dowolną grupą, jej dowolną podgrupą. Podzbiory grupy dane jako

dla nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną grupy względem wyznaczonymi przez element jeżeli są one równe, tzn. to mówi się wtedy po prostu o warstwach (obustronnych).

Moc zbioru oznaczanego też wszystkich warstw lewostronnych nazywa się indeksem podgrupy względem grupy i oznacza jednym z symboli lub [1][2]; tak samo oznacza się i nazywa moc zbioru (nie mylić z różnicą zbiorów ) wszystkich warstw prawostronnych, gdyż liczby te są równe (zob. dalej). Spotyka się również odwrócone oznaczenie zbioru warstw prawostronnych, mianowicie (bywa ono stosowane jako element notacji warstw podwójnych); jest ono o tyle „bezpieczniejsze”, iż zawsze Jeżeli jest podgrupą normalną, to (zob. Normalność) i wtedy zbiór warstw[i] oznacza się zwykle wyłącznie za pomocą pierwszego z przytoczonych symboli, tj. jak zbiór warstw lewostronnych[j].

Własności[edytuj]

Jeżeli oznacza element neutralny w to warstwa lewostronna równa jest podgrupie a ta jest równa warstwie prawostronnej [k] (warstwa ta jest jedyną wśród nich podgrupą, gdyż tylko ona zawiera element neutralny); równości oraz zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy [l]. Równość warstw lewostronnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego [m], co wprost z definicji warstwy jest równoważne warunkowi bądź [n], który można również zastąpić równością [o]; podobnie dla warstw prawostronnych[p].

Grupa jest sumą parami rozłącznych warstw lewostronnych[q] i podobnie dla warstw prawostronnych; innymi słowy warstwy lewo- i prawostronne względem wprowadzają odpowiednio podziały oraz w zbiorze elementów grupy (które nie muszą być identyczne, zob. kolejną sekcję i Przykłady). Ze wzajemnej odpowiedniości podziałów i relacji równoważności wynika, że wspomniane podziały można uzyskać za pomocą relacji równoważności bądź utożsamiających elementy z jednej warstwy lewo- bądź prawostronnej, tzn. albo (por. wzór Motywacja); opierając się na powyższych własnościach równości warstw relacje te definiuje się zwykle za pomocą równoważnych wzorów[r]

przy czym klasy równoważności mają postać warstw lewostronych a klasy równoważności są warstwami prawostronnymi [s]. Wynika stąd, że zbiory ilorazowe oraz odpowiadają odpowiednio podziałom oraz własności warstw można więc wywnioskować z własności klas równoważności: w szczególności dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem są rozłączne, każdy element grupy należy do jednej i tylko jednej z nich, a ponadto żadna z nich nie jest pusta (zawiera przynajmniej jeden element)[t].

Sztywność struktury grupy gwarantuje więcej: warstwy lewostronne są równoliczne, podobnie ma się rzecz z warstwami prawostronnymi[u]. Podgrupa jest równocześnie warstwą lewo- i prawostronną – dlatego równoliczne są wszystkie warstwy ( oraz dla dowolnego ) grupy względem w szczególności jeżeli rząd jest skończony, to dla każdego [v]. Sytuacja ta jest warta podkreślenia, gdyż klasy abstrakcji dowolnych relacji równoważności określonych na zbiorach, np. elementów grupy, nie muszą być równoliczne (zob. rysunek w sekcji Motywacja). Równoliczne są również same podziały oraz złożone odpowiednio z warstw lewo- i prawostronnych[w], a ich wspólna moc nazywana jest indeksem w Wprost stąd wynika, że na skończony rząd składa się rząd pojedynczej warstwy grupy względem podgrupy pomnożony przez ich liczbę, tzn. zachodzi wzór[x]

(przy oznaczeniach z sekcji Motywacja jest [y]). Powyższy wynik, wyrażony zwykle w postaci: rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, nazywa się zwykle twierdzeniem Lagrange'a, choć niekiedy nazwę tę nosi nieprecyzyjnie bezpośredni z niego wniosek: rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupy[z] (zob. rząd elementu i grupy).

Normalność[edytuj]

 Osobne artykuły: podgrupa normalnagrupa ilorazowa.

Każda warstwa prawostronna względem podgrupy może być postrzegana jako warstwa lewostronna względem podgrupy do niej sprzężonej, gdyż dla dowolnego Z tego powodu mylące może być mówienie o warstwach względem danej podgrupy bez wskazywania, czy chodzi o warstwy lewo-, czy prawostronne. Nie mniej uwaga ta podsuwa pomysł na to jak zapewnić, by relacje oraz dawały jeden zbiór ilorazowy tzn. podgrupa wyznaczała jeden podział w grupie Mianowicie czyli dla dowolnego podgrupy grupy spełniające podany warunek nazywa się normalnymi; innymi słowy podgrupy normalne to podgrupy, które (jako całość) są przemienne ze wszystkimi elementami grupy [aa][ab].

Jeżeli podgrupa nie jest normalna, to mimo ich wspólnego indeksu podziały na warstwy lewo- i prawostronne względem są istotnie różne. Mimo to mogą istnieć pojedyncze warstwy dla pewnego które są równe, tzn. sytuacja ta zachodzi np. wtedy, gdy element jest przemienny z dowolnym elementem grupy, tj. należy do centrum (w szczególności jest tak dla ).

Normalność podgrupy jest równoważna temu, by mogła być ona jądrem homomorfizmu grupy co z kolei umożliwia określenie na zbiorze warstw działania ich mnożenia danego wzorem

Zbiór tworzy wraz z tym działaniem grupę nazywaną grupą ilorazową. W grupach przemiennych, w których korzysta się zwykle z notacji addytywnej, warstwy lewo- i prawostronne grupy względem podgrupy wyznaczane przez element są zawsze równe, (wprost z ich definicji), czyli każda podgrupa jest normalna; stąd grupa ilorazowa istnieje dla dowolnej podgrupy grupy przemiennej [j].

Przykłady[edytuj]

Dla dowolnej grupy warstwami (lewo- i prawostronnymi) względem podgrupy trywialnej są wszystkie jej podzbiory jednoelementowe zbioru z drugiej strony jedyną warstwą (tak lewo- jak i prawostronną) względem jej podgrupy niewłaściwej (tzn. ) jest cała grupa W pierwszym przypadku odpowiednia relacja równoważności utożsamia każdy element grupy sam ze sobą, w drugim tożsame są wszystkie elementy grupy[ac]. Dla obu podgrup podziały wyznaczone są jednoznacznie, co oznacza, że tak podgrupa trywialna, jak i niewłaściwa są normalne w dowolnej grupie.

Niech będzie grupą liczb całkowitych z dodawaniem, a będzie zbiorem liczb parzystych. Ponieważ dla dowolnych elementów zachodzi [ad], to zbiór spełnia kryterium bycia podgrupą w Istnieją dwie warstwy lewostronne względem które tworzą odpowiednio zbiory parzystych i nieparzystych liczb całkowitych:

istnieją również dokładnie dwie warstwy prawostronne postaci

które są równe odpowiadającym im warstwom lewostronnym – ta sytuacja jest przypadkiem szczególnym dwóch ogólnych reguł mówiących, kiedy warstwy lewostronne są równe prawostronnym (kiedy podgrupa jest normalna):

  • istnieje jeden podział na warstwy względem danej podgrupy, o ile tylko działanie w grupie jest przemienne (grupa jest abelowa)[ae];
  • wszystkie podziały dwuelementowe na warstwy względem danej podgrupy są równe (podgrupa jest indeksu 2)[af].

Wspomniane podziały wyznaczane są przez (tożsame) relacje równoważności

które wyrażają tę samą własność: dwa elementy uważane są za równoważne, jeżeli ich różnica jest liczbą parzystą. Analogicznie rozpatrywać można warstwy dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej prowadzi to wprost do tzw. arytmetyki modulo (są to grupy ilorazowe przemiennej grupy względem ich podgrup dla ).

Grupa permutacji ma tę samą strukturę, co grupa symetrii (tj. grupa izometrii) trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa): () odpowiadają symetriom osiowym (o osiach przechodzących przez dany wierzchołek i środek przeciwległego do niego boku), zaś i odpowiadają obrotom (o 120°, −120°) wokół środka tego trójkąta; odpowiada przekształceniu tożsamościowemu. (Por. grupa diedralna, działanie grupy na zbiorze).

Niech dany będzie trójelementowy zbiór; jego elementy można uporządkować w różnorodny sposób uzyskując różnych ciągów. Zmiany uporządkowania możliwe są dzięki tzw. permutacjom, czyli przekształceniom zmieniającym porządek elementów danego zbioru; we wspomnianym przypadku wszystkie permutacje zbioru trójelementowego tworzą grupę permutacji rzędu [ag] (jest to najmniejsza, w sensie liczby elementów, grupa nieprzemienna). Grupa ta ma cztery nietrywialne podgrupy właściwe[ah] (wszystkie cykliczne): trzy rzędu i jedną rzędu ostatnia z nich jest normalna, tj. wyznacza podział w jednoznacznie (gdyż jest on dwuelementowy), każda z trzech pozostałych – nie jest normalna, czyli rozpatrywanie warstw lewo- i prawostonnych wprowadza dwa istotnie różne podziały. Niech przekształcenie oznacza zachowanie uporządkowania (element neutralny), a oznacza zmianę uporządkowania polegające na przestawieniu dwóch pierwszych elementów (zachowaniu wyłącznie trzeciego elementu) – wspomniane dwie permutacje tworzą podgrupę grupy Warstwami lewo- i prawostronnymi względem są odpowiednio

które są istotnie różne (jedynym wspólnym elementem tych podziałów jest podgrupa ), gdzie () to przestawienia dwóch elementów zachowujące -ty, zaś to cykliczne przestawienia wszystkich elementów odpowiednio „w lewo” i „w prawo”, tzn. oraz

Warstwy lewostronne względem
ι τ3 σL τ2 σR τ1
ι ι τ3 σL τ2 σR τ1
τ3 τ3 ι τ1 σR τ2 σL
σL σL τ2 σR τ1 ι τ3
τ2 τ2 σL τ3 ι τ1 σR
σR σR τ1 ι τ3 σL τ2
τ1 τ1 σR τ2 σL τ3 ι
Warstwy prawostronne względem
ι τ3 σL τ1 σR τ2
ι ι τ3 σL τ1 σR τ2
τ3 τ3 ι τ1 σL τ2 σR
σL σL τ2 σR τ3 ι τ1
τ1 τ1 σR τ2 ι τ3 σL
σR σR τ1 ι τ2 σL τ3
τ2 τ2 σL τ3 σR τ1 ι

Uogólnienia[edytuj]

Niech będzie grupą, a i jej dowolnymi podgrupami. Podzbiory grupy postaci

dla nazywa się warstwami podwójnymi grupy względem oraz wyznaczonymi przez element

Zbiór wszystkich warstw podwójnych grupy względem oraz stanowi rozbicie grupy na rozłączne podzbiory[ai], jak miało to miejsce w przypadku zwykłych warstw, choć w moc tego zbioru nie musi dzielić rzędu grupy, a same warstwy mogą mieć różne moce, które również nie muszą dzielić rzędu grupy (por. przykłady niżej). Istnieje jednak następujący odpowiednik „wzorów indeksowych” oraz [aj]:

Twierdzenie Frobeniusa
Niech będzie grupą skończoną, a jej podgrupami. Wówczas
Przykłady

Zwykłe warstwy są przypadkiem szczególnym warstw podwójnych, w których jedna z podgrup jest trywialna: oraz gdzie zawiera wyłącznie element neutralny grupy Podobnie staje się zbiorem warstw lewo- bądź prawostronnych. Jak odwracanie przekształcało na (bijekcja ustalająca równoliczność warstw lewo- i prawostronnych), tak przekształca ono na

Jeżeli jest przemienna, to iloczyn (kompleksowy) zbiorów tworzy podgrupę w a warstwy podwójne względem oraz są po prostu zwykłymi warstwami względem podgrupy

Niech dana będzie grupa z oznaczeniami z sekcji Przykłady. Jeżeli zaś to warstwą podwójną względem tych podgrup wyznaczoną przez jest

z kolei wyznacza warstwę

Są to wszystkie warstwy wyznaczane przez te dwie podgrupy. Jeśli to istnieją tylko dwie warstwy podwójne: oraz

Niech będzie grupą diedralną oraz gdzie oznaczają odpowiednio elementy rzędu 4 i 2 (obrót i symetrię). Różnymi warstwami dwustronnymi względem (oraz ) są:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Uwagi

  1. Intuicyjnie warstwa to egzemplarz danej podgrupy „przesunięty” w grupie: razem „wypełniają” całą grupę.
  2. Poglądowo indeks to „rozmiar” grupy względem jej ustalonej podgrupy: liczba egzemplarzy danej podgrupy, które „wypełnią” grupę.
  3. Z własności homomorfizmów dla dowolnych : skoro to czyli tj. skąd (oraz ) – zob. charakteryzacja podgrupy.
  4. Otóż niech tzn. wówczas czyli tj. skąd co oznacza, że element równoważny do należy do zbioru Odwrotnie, dowolny element zbioru jest równoważny z ponieważ wtedy gdyż oznacza, że
  5. Przechodząc w poprzednim dowodzie od do uzyskuje się, że klasy równoważności elementu można również zapisać w postaci dla Sytuacja ta jest typowa dla podgrup będących jądrami homomorfizmów; dla podgrup nie mogącymi być jądrami homomorfizmów istnieją dla których por. dalsza część artykułu.
  6. A także co wskazano wyżej.
  7. Nieco uogólniona, obserwacja ta znana jest jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie.
  8. Tożsamość pojęć „podział ↔ relacja równoważności” jest prawdziwa na gruncie teorii mnogości; jednakże równoważność „relacja równoważności ↔ jądro homomorfizmu” oprócz teorii grup zachodzi tylko w teorii pierścieni; dla części struktur algebraicznych prawdziwa jest zależność „relacja równoważności → jądro homomorfizmu” (np. dla półgrup z jedynką), w ogólności pojęcia te nie muszą wykazywać żadnego związku „relacja równoważności – jądro homomorfizmu” (czyniąc pojęcie jądra nieużytecznym).
  9. A także określoną na nim grupę ilorazową.
  10. a b W przypadku grup w notacji addytywnej (zwykle przemiennych) właściwe jest mówienie o „grupach różnicowych” wraz z oznaczeniem (por. Scott, 2012); w polskiej tradycji matematycznej oznaczenia te są w gruncie rzeczy niespotykane.
  11. Wprost z definicji warstwy lewostronnej i podobnie dla warstwy prawostronnej.
  12. Jeśli to czyli Odwrotnie: jeżeli to również zatem oraz dla wszystkich (gdyż jako podgrupa jest zamknięta ze względu na mnożenie), czyli dla dowolnego zatem oraz a więc Podobnie dla warstw prawostronnych.
  13. Jeśli to czyli dla pewnego odwrotnie: jeśli to zatem oraz dla wszystkich (z zamkniętości na mnożenie), skąd oraz czyli
  14. Z pierwszego warunku równości wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego które można wtedy zapisać jako
  15. Z poprzedniego warunku wtedy i tylko wtedy, gdy co jest równoważne na mocy poprzedniego stwierdzenia.
  16. Analogicznie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego co można zastąpić warunkiem który jest równoważny bądź
  17. Skoro dla każdego to ponadto dla dowolnego jest zatem a więc stąd Warstwy lewostronne względem są parami rozłączne, gdyż w przeciwnym przypadku dla pewnych byłoby czyli istniałby element należący do obu tych warstw: oraz co z charakteryzacji równości warstw oznaczałoby, iż oraz czyli Stąd nierozłączne warstwy są równe.
  18. Tak określona relacja (jak i ) istotnie jest równoważnością. Zwrotność: dla dowolnego zachodzi skąd Symetryczność: jeżeli tj. skąd czyli tzn. Przechodniość: jeżeli oraz tj. oraz to również skąd tzn.
    W istocie zwrotność, symetryczność i przechodniość wynikają z faktu, iż jest podgrupą: kolejno z oraz zamkniętości ze względu na branie odwrotności i mnożenie.
  19. Wprost z określenia relacji równoważności prawdziwe są równoważności dla z obserwacji tej i definicji warstwy lewostronnej wynika wtedy, że Dowód dla warstw prawostronnych jest analogiczny.
  20. Dla ustalonych elementu oraz (niepustej; zob. grupa trywialna) podgrupy warstwa powstaje w wyniku dobrze określonego (wprost z definicji grupy) mnożenia oraz dowolnego elementu które dla dowolnych dwóch elementów grupy daje element tej grupy, skąd musi zawierać co najmniej jeden element. Analogicznie dla warstw prawostronnych.
  21. Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość ustalają mnożenia lewo- i prawostronne elementów przez elementy mianowicie funkcje dana wzorem oraz określona wzorem dla dowolnego Iniektywność: jeżeli bądź to suriektywność: zbiory oraz składają się ze wszystkich elementów postaci odpowiednio lub (są to w istocie odwzorowania ilorazowe).
  22. Wzór ten jest prawdziwy, jeśli przyjąć, że gdy warstwa nie jest zbiorem skończonym, to
  23. Odpowiedniość jest źle określona (zob. podgrupę w Przykładach, dla której żadne z warstw lewo- i prawostronnych, poza nie są równe); odpowiednią bijekcją jest Odwzorowanie to jest dobrze określone, ponieważ pociąga istotnie: oznacza skąd też a więc czyli Ponadto jest ono różnowartościowe (wystarczy odwrócić wynikanie w poprzednim rozumowaniu) oraz „na” ze względu na to, że dowolna warstwa prawostronna jest obrazem warstwy lewostronnej w przekształceniu mianowicie
  24. Jeżeli lub nie są skończone, to można przyjąć, iż bądź wtedy wzór mówi o tym, że nieskończoność rzędu pociąga i jest pociągana przez nieskończoność rzędu
  25. Por. z twierdzeniem o rzędzie dla przekształcenia liniowego między przestrzeniami liniowymi.
  26. Wystarczy rozważyć podgrupę (cykliczną) generowaną przez element rzędu
  27. Warunek dla dowolnego nie oznacza dla oraz lecz że dla dowolnego istnieją dla których
  28. Podgrupy normalne nazywane były też niegdyś samosprzężonymi, gdyż spełniają one albo niezmienniczymi (ze względu na sprzężenia); dziś określeń tych, podobnie jak „dzielnik normalny” (nazwa związana z konstrukcją grupy ilorazowej, nie stosuje się jako mylących.
  29. Homomorfizm z sekcji Motywacja jest odpowiednio przekształceniem stałym w element neutralny (przez co ) oraz identycznością (dzięki czemu ).
  30. Elementy są postaci oraz dla pewnych zatem istotnie dla pewnego (różnica liczb parzystych jest liczbą parzystą); ponadto zatem
  31. Niech będzie grupą przemienną, wtedy dla dowolnego na mocy przemienności, czyli dla każdego
  32. Jeżeli jednym z elementów dwuelementowego podziału jest gdzie jest elementem neutralnym (podgrupa ta jest zarazem warstwą lewo- jak i prawostronną), to drugim musi być dopełnienie podgrupy w
  33. Grupa nazywana również grupą symetryczną rzędu ma strukturę identyczną z grupą diedralną będąca grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa).
  34. Pozostałe dwie podgrupy to jednoelementowa podgrupa trywialna zawierająca przekształcenie tożsamościowe oraz cała grupa
  35. Równoważnie: Każdy element znajduje się w pewnej warstwie podwójnej, a jeśli element należy do dwóch warstw podwójnych, to są one równe.
    Dowód: Ponieważ gdzie jest elementem neutralnym grupy, to dowolny element grupy należy do pewnej warstwy podwójnej. Niech warstwy oraz mają element wspólny: gdzie oraz należy dowieść, iż warstwy te są równe. Z założonej równości wynika a więc dla dowolnych i zachodzi zatem Przeciwne zawieranie dowodzi się analogicznie, skąd
  36. Wzór upraszcza się do zwykłego wzoru na indeksy, gdy jedna z podgrup jest trywialna.

Przypisy

  1. Białynicki-Birula, 2009: definicja 4.7.
  2. Gleichgewicht, 2004: definicja 13.4.