Wartość skuteczna

Wartość skuteczna, RMS (od ang. root mean square, średnia kwadratowa) – statystyczna miara sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).

Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równemu okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego).

Moc prądu stałego o wartości $I$ wydzielana na oporniku o rezystancji $R{:}$

(1) $P=I^{2}R.$

Tym samym energia wydzielona w ciągu okresu przez prąd stały:

(2) $E=PT=I^{2}RT$

przy czym $T$ jest długością okresu.

Moc chwilowa prądu przemiennego wynosi:

(3) $p=ui=i^{2}R=I^{2}(t)R.$

Energia w ciągu okresu $T{:}$

(4) $E=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}R\;dt.$

Szukana jest taka wartość prądu stałego, która wydzieliłaby tę samą energię, co prąd przemienny. Tym samym prawe strony równań (2) i (4) powinny być równe:

(5) $I^{2}RT=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}Rdt.$

Przekształcając to równanie, dochodzi się do poszukiwanej wartości prądu stałego:

(6) $I={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}dt}}.$

Długość przedziału całkowania $T$ powinna być równa okresowi sygnału lub być jego całkowitą wielokrotnością.

Analogicznie dochodzi się do wartości skutecznej napięcia. Wartość skuteczna $U_{S}$ sygnału $u(t)$ jest to średnia kwadratowa wartość tego sygnału.

Dla sygnału sinusoidalnego o wartości maksymalnej $I_{max}$ zachodzi zależność:

(7) $I={\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}.$

Dla innych sygnałów (np. zniekształconych) ta zależność nie musi być spełniona.

Cyfrowe mierniki elektryczne podają zwykle wartość skuteczną sygnału (nie maksymalną). W prostszych rozwiązaniach jest ona wyliczana z zależności (7), a poprawny wynik otrzymywany jest jedynie dla przebiegów sinusoidalnych. Mierniki wyższej klasy pozwalają na pomiar wartości skutecznej przebiegów odkształconych, a obliczają ją z zależności (6). Mierniki takie są zwykle opisane jako „true RMS”, co oznacza, że mierzą rzeczywistą („prawdziwą”) wartość skuteczną, jednak są dużo droższe.

Relacja wartości skutecznej sygnału do jego średniej arytmetycznej ${\bar {u}}$ i odchylenia standardowego $\sigma _{u}$ jest następująca:

$u_{\mathrm {S} }^{2}={\bar {u}}^{2}+\sigma _{u}^{2}.$

Zobacz też

• wartość chwilowa przebiegu czasowego
• wartość minimalna przebiegu czasowego
• wartość średnia przebiegu czasowego
• wartość szczytowa przebiegu czasowego
• parametry sygnału okresowego – porównanie wartości skutecznych dla kilku typów sygnałów okresowych
• napięcie skuteczne