Warunkowa wartość oczekiwana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia[edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym Niech również będzie zmienną losową,

gdzie jest mierzalna


jest zdarzeniem takim, że

Definicje[edytuj kod]

  • Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:


  • Niech będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:


1) jest -mierzalna,

2) dla dowolnego


Dla dowolnego σ-ciała i zmiennej losowej całkowalnej istnieje i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.


  • Szczególny przypadek poprzedniego.


Niech , gdzie i niech Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała jest równa:



Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności[edytuj kod]

Niech i niech będzie σ-ciałem. Wówczas:






  • Dla dowolnego mamy:




  • Jeśli jest niezależna od (tzn. σ() i są niezależne), to:



  • Jeśli jest ograniczoną zmienną -mierzalną, to:



Zobacz też[edytuj kod]

Literatura[edytuj kod]