Definicja intuicyjna
Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.
Wersor – wektor jednostkowy (także unormowany
Niech
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
przestrzenią unormowaną . Wersorem
x
∘
{\displaystyle x^{\circ }}
wektora
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
∘
=
x
‖
x
‖
{\displaystyle x^{\circ }={x \over \|x\|}}
Oczywiście
x
∘
∈
lin
(
x
)
{\displaystyle x^{\circ }\in \operatorname {lin} (x)}
‖
x
∘
‖
=
1
{\displaystyle \|x^{\circ }\|=1}
W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.
Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych . Dla osi
O
X
,
O
Y
,
O
Z
{\displaystyle OX,OY,OZ}
symbolami
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
e
x
,
e
y
,
e
z
{\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z}}
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}
W przestrzeni euklidesowej
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
iloczynem skalarnym wersorem wektora
x
=
[
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}}\right]}
x
∘
=
1
2
2
+
3
2
+
4
2
[
2
3
4
]
=
[
2
29
3
29
4
29
]
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}}\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {2}{\sqrt {29}}}\\{\frac {3}{\sqrt {29}}}\\{\frac {4}{\sqrt {29}}}\\\end{smallmatrix}}\right]}
W przestrzeni
R
2
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} _{2}[X]}
wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej ) z iloczynem skalarnym
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{-1}^{1}f(x)g(x)dx}
‖
f
‖
=
⟨
f
,
f
⟩
{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}}
f
(
X
)
=
X
2
+
X
+
1
{\displaystyle f(X)=X^{2}+X+1}
f
∘
(
X
)
=
X
2
+
X
+
1
∫
−
1
1
(
X
2
+
X
+
1
)
(
X
2
+
X
+
1
)
d
X
=
X
2
+
X
+
1
22
5
=
5
22
X
2
+
5
22
X
+
5
22
{\displaystyle f^{\circ }(X)={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}(X^{2}+X+1)(X^{2}+X+1)dX}}}={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\tfrac {22}{5}}}}={\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X^{2}+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}}
Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną .W fizyce zamiast
x
∘
{\displaystyle x^{\circ }}
e
→
x
{\displaystyle {\vec {e}}_{x}}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
![{\mathbf {x}}=\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e0ba41c868839d20dddbadf987908ea38f1915)
![{\mathbf {x}}^{{\circ }}={\frac {1}{{\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}}}\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {2}{{\sqrt {29}}}}\\{\frac {3}{{\sqrt {29}}}}\\{\frac {4}{{\sqrt {29}}}}\\\end{smallmatrix}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdc868f6dfa4d2123fe86034d034f1a0e45e1ca)
![{\mathbb {R}}_{2}[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5763e927f3061db66adc900fbc1abf14dc5634c4)
