Więzy układu mechanicznego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Więzy układu mechanicznego to warunki nakładające ograniczenia na położenia (więzy skończone, geometryczne) i prędkości (więzy różniczkowe, kinematyczne) punktów tego układu[1]. Więzy mogą być dwu rodzajów: stacjonarne (skleronomiczne) i niestacjonarne (reonomiczne) w zależności od tego czy zależą one od czasu czy też nie.

Więzy geometryczne dwustronne[edytuj | edytuj kod]

Punkt pojedynczy[edytuj | edytuj kod]

Punkt materialny nazywamy swobodnym jeżeli punkt ten może zajmować dowolne położenie w przestrzeni. Jeżeli jednak z góry dany jest obszar geometryczny, w granicach którego rozważany punkt może się poruszać, to sam punkt nazywamy nieswobodnym, a warunki ograniczające jego swobodę – więzami geometrycznymi. Ten obszar może być jedno, dwu lub trójwymiarowy. Powierzchnia ograniczająca obszar w ogólnym przypadku może być ruchoma i mieć zmienny kształt i dlatego opisana jest we współrzędnych kartezjańskich równaniem więzów dwustronnych o postaci

(1)

Przy więzach tego typu poruszający się punkt musi zawsze dokładnie pozostawać na powierzchni określonej równaniem (1).

W przypadku więzów jednostronnych punkt musi zawsze spełniać warunek

(2)

czyli pozostawać po jednej stronie lub na brzegu powierzchni (1). Więzy jednostronne mogą być czynne (gdy ) lub nieczynne (gdy ).

Więzy dwustronne nakładają ograniczenia (1) nie tylko na przemieszczenia punktu, ale również na jego prędkości. Mamy bowiem obliczając pochodną zupełną (1)

(3)

To równanie ma rozwiązanie w postaci[1]

(4)

gdzie – jest dowolnym wektorem prostopadłym do czyli leżącym na płaszczyźnie stycznej do powierzchni określonej równaniem

Wynika stąd, że składowa prędkości w tej płaszczyźnie może być zupełnie dowolna. W przypadku więzów niestacjonarnych płaszczyzna ta porusza się i składowa prędkości punktu w kierunku gradientu nie jest zerowa. Ma ona wtedy wartość

(5)

Więzy dwustronne nie nakładają żadnych ograniczeń także na przyspieszenia punktu w kierunku prostopadłym do wektora mamy bowiem

(6.1)

gdzie składnik

(6.2)

nie zawiera żadnych przyspieszeń.

Zamiast (6.1) możemy napisać

(7)

Po rozwiązaniu otrzymujemy[1]

(8)

gdzie jest dowolnym wektorem prostopadłym do gradientu. W przypadku więzów niestacjonarnych składowa przyspieszenia punktu o kierunku gradientu, wywołanego ruchem płaszczyzny (1), ma wartość

(9)

Układ punktów[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy układ składający się z punktów materialnych. Oznaczmy współrzędne dowolnego punktu przez Na ten układ można nałożyć więzy geometryczne wyrażone wzorami

(10)

Każde położenie układu, dla którego współrzędne punktów spełniają te równania, nazywamy możliwym w danej chwili czasu.

Wyobraźmy sobie, że punkty układu o współrzędnych zostały unieruchomione. Wówczas równanie (10) przedstawia powierzchnię w która z biegiem czasu zmienia swój kształt, na której musi pozostawiać punkt

Gradientem więzów w punkcie jest

(11)

gdzie są wersorami osi globalnego układu współrzędnych.

Gradient ten ma kierunek normalnej do powierzchni (10).

Więzy o postaci (10) nakładają ograniczenia nie tylko na położenie, ale również na prędkości punktów układu.

Równania (10) mają być spełnione w dowolnej chwili i stąd wynika, że pochodna zupełna dowolnego rzędu względem czasu, lewych stron równości (10), jest równa zeru. Ograniczenia na prędkości punktów układu otrzymamy różniczkując (10)

(12)

lub

(13)

Obliczając pochodną funkcji (12) otrzymujemy warunki ograniczające przyspieszenia układu w postaci

(13)

gdzie

(14)

jest wyrażeniem nie zawierającym przyspieszeń. Dzięki temu zamiast (13) możemy napisać

(15)

Więzy kinematyczne dwustronne[edytuj | edytuj kod]

Kinematyczne więzy nie pozwalają na to, aby punkty układu w danej chwili i w danym położeniu miały dowolne prędkości. Więzy kinematyczne dwustronne można analitycznie zapisać równaniami o postaci

(16)

W przypadku liniowych więzów kinematycznych wyrażenia analityczne zawierają prędkości tylko w sposób liniowy. Równania takich więzów mają postać

(17)

gdzie oznaczają pewne funkcje współrzędnych i czasu.

Jeżeli wprowadzimy do rozważań wektory

(18)

to równania (17) możemy zapisać w postaci[1]

(19.1)

Przyspieszenia punktów układu poddanego więzom rozważanego typu muszą spełniać ograniczenia o postaci

(19.2)

w której drugi i trzeci człon sumy nie zawiera przyśpieszeń.

Więzy jednostronne[edytuj | edytuj kod]

Punkt pojedynczy[edytuj | edytuj kod]

Analitycznym wyrażeniem geometrycznych więzów jednostronnych, nałożonych na punkt materialny, jest nierówność

(20)

Więzy takie mogą być czynne, gdy lub nieczynne, gdy

Gdy więzy nie są czynne, wtedy punkt porusza się wewnątrz obszaru, w którym możliwy jest jego ruch. W tym przypadku może on mieć dowolną prędkość i dowolne przyspieszenie, bo na te wielkości wektorowe nie są nałożone żadne ograniczenia.

Rozważmy teraz przypadek, gdy w pewnej chwili więzy są jeszcze czynne, a za chwilę stają się nieczynne, tzn.

(21)

gdzie jest dowolnie małą wielkością dodatnią.

Funkcja w sposób złożony zależy od czasu, tzn. w sposób jawny i za pośrednictwem zmiennych

Aby znaleźć ograniczenia nałożone na prędkości i przyspieszenia punktu posłużymy się rozwinięciem funkcji w szereg Taylora w otoczeniu momentu

gdzie oznacza zespół wyrazów rzędu co najmniej trzeciego rzędu względem

Na podstawie warunków (21) otrzymujemy

(22)

Dzieląc przez i przechodząc do granicy otrzymuje się zgodnie z notacją (3)

(23)

Jeżeli więzy są stacjonarne, to i dzięki temu

(24)

tzn. że rzut prędkości punktu na kierunek gradientu nie może być ujemny, czyli niezgodny z więzami.

Jeżeli w chwili pochodna to z nierówności (22) nie można wyciągnąć żadnych wniosków dotyczących drugiej pochodnej a zatem przyśpieszenie punktu pozostaje zupełnie dowolne. Jeżeli natomiast to dzieląc nierówność (22) przez i przechodząc do granicy otrzymujemy (dla drugiej pochodnej prawostronnej) warunek

(24)

lub zgodnie ze wzorem (7)

(25)

Układ punktów[edytuj | edytuj kod]

Dla układu punktów więzy geometryczne i kinematyczne opisane są nierównościami typu

(26)
(27)

Gdy lewe strony tych wzorów są dodatnie mówimy, że więzy nie działają. Gdy lewe strony są równe zeru mówimy, że więzy działają.

Lewe strony wzorów (26) i (27) są złożonymi funkcjami czasu, tzn. zależą od czasu i jawnie i niejawnie, za pośrednictwem współrzędnych i ich pochodnych. Gdy czasowi nadamy pewien dodatni przyrost możemy napisać

(28)
(29)

gdzie oznaczają składniki odpowiednio trzeciego i drugiego stopnia względem

Ponieważ zawsze będziemy uważali wielkość za dodatnią, dlatego pochodne funkcji występujące we wzorach (28) i (29) należy rozumieć jako tzw. pochodne prawostronne, tzn. obliczone przy założeniu

Gdy układ porusza się zgodnie z więzami i chwila nie jest chwilą, w której układ opuszcza więzy, wówczas przy dowolnym nie przekraczającym pewnej wartości, lewe strony wzorów (28) i (29) są równe zeru. Zatem w tym przypadku w chwili zachodzą równości

(30)
(31)

dla dowolnego Są to warunki konieczne i dostateczne na to, aby więzy działały.

Niech teraz będzie chwilą, w której układ opuszcza więzy lub

Znaczy to, że po pierwsze

(32)

i po drugie, dla dowolnego dodatniego nie przekraczającego pewnej wartości

(34)

Uwzględniając te nierówności w rozwinięciach (28) i (29) stwierdzamy, że w chwili zachodzą nierówności

(35)
(36)

Nierówności te są prawdziwe przy dowolnie małym dodatnim Na skutek tego z pierwszej nierówności wynika, że

(37)

Taki warunek więzy geometryczne nakładają na prędkości punktów w chwili, gdy przestają działać. Warunek, jaki nakładają w takiej chwili więzy kinematyczne na prędkości punktów, polega na tym, że

(38)

Jeżeli w chwili, gdy więzy geometryczne przestają działać, zachodzi nierówność i ze wzoru (35) wynika, że druga pochodna może mieć dowolny znak, tzn. w tym przypadku więzy nie nakładają żadnych ograniczeń na przyśpieszenia punktów. Jeżeli to ponieważ nierówność (35) zachodzi przy dowolnie małym dodatnim więc wynika z niej warunek

(39)

Podobnie z równości (35) można wywnioskować, że dla więzów kinematycznych w chwili, gdy przestają działać, zawsze ma miejsce nierówność

(40)

Takie są warunki nakładane przez więzy na przyśpieszenia punktów w chwili, w której więzy przestają działać.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.