Wielkość (arytmetyka odcinków)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Jedna z konstrukcji arytmetyki odcinków; fragment oryginalnej pracy Kartezjusza (1637)

Wielkość (wielkość geometryczna) – archaiczne pojęcie matematyczne, w XVII-wiecznej arytmetyce odcinków stanowiące pomost pomiędzy geometrią a algebrą.

W matematyce od czasów starożytnych (np. Elementy Euklidesa) aż do XVIII wieku (np. Geometria Kartezjusza) algebra była ściśle związana z interpretacją geometryczną[1], co spowalniało rozwój algebry[2]. Dla ówczesnych matematyków rozwiązaniami równań były odcinki, a własności algebraiczne były dowodzone poprzez odpowiednie konstrukcje geometryczne[2]. Ujęcie to sformalizował Kartezjusz w Geometrii, definiując arytmetykę odcinków[3].

W matematyce starożytnej słowo wielkość (μεγενος) oznaczało zarówno: odcinek, figurę, bryłę oraz kąt[1].

W matematyce XVII-wiecznej wielkość (quantité) była pojęciem pomiędzy geometrią a algebrą. Wielkość w ujęciu arytmetyki odcinków oznaczała odcinek, lecz oprócz tego wielkość mogła być rozwiązaniem równania wielomianowego[1]. Stąd rozwiązaniami równań nie były liczby ani długości odcinków, lecz odcinki rozumiane jako wielkości[1]. Jednak oprócz najbardziej klasycznego rozumienia wielkości jako odcinka równorzędnie występowały również pojęcia takie jak np. wielkość powierzchni, wielkość kątów[1].

Takie ujęcie wielkości (jako odcinka) przyczyniło się do wprowadzenia nowych oznaczeń[1]. Podczas gdy zwykłe odcinki już od czasów starożytnych oznaczano dwoma dużymi literami, np. , , odcinki będące wielkościami oznaczano małymi literami początku alfabetu, np. , , gdy były „znane”, oraz końca alfabetu, np. , , gdy były „nieznane”[1].

Np. w Geometrii Kartezjusza niewiadoma równania algebraicznego jest nazywana wielkością , co zgadza się z założeniem, że rozwiązaniem problemu jest odcinek[1].

Wartość wielkości[edytuj]

René Descartes (w Geometrii) wprowadził również pojęcie wartości wielkości, którego używa w kontekście rozwiązywania równań[1]. Definiuje je następująco:

Wiedząc, że w każdym równaniu, ile nieznana wielkość[a] ma wymiarów, tyle może być różnych pierwiastków, to znaczy wartości[b] tej wielkości.

[4]

Ujemne wielkości[edytuj]

Fragment oryginalnej pracy Wallisa (1685), w którym wyjaśniana jest natura liczb ujemnych

Ponieważ ówczesne rozumienie liczby nie dopuszczało liczb ujemnych (wielkość była odcinkiem, a odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem niewiadomej nie może być przypisana wartość ujemna), a ujemne wielkości pojawiały się w obliczeniach matematycznych, Kartezjusz musiał podjąć specjalne zabiegi językowe[1][2][5]. Wprowadził pojęcie fałszywego pierwiastka[1].

Zdarza się jednak często, że niektóre z pierwiastków są fałszywe lub mniejsze od niczego; jeśli zakładamy, że określa również brak wielkości , wtedy otrzymujemy: , które będąc pomnożone przez , daje równanie z czterema pierwiastkami, mianowicie z trzema prawdziwymi oraz jednym fałszywym .

[4]

Interpretacja wielkości jako odcinka, a czasem także figury płaskiej, bryły i kąta, stanowiła problem w zrozumieniu liczb ujemnych[2]. Arytmetyka odcinków Kartezjusza stanowiła istotny krok w uwalnianiu się od tej interpretacji, sprowadzając operacje na różnych wielkościach (w ujęciu antycznym) do operacji na odcinkach (wielkościach w ujęciu Kartezjusza)[2], a pojęcie fałszywego pierwiastka było początkiem pojmowania liczb ujemnych przez matematyków.

Jednak przełomu w pokonywaniu trudności związanych z pojęciem wielkości ujemnych dokonał dopiero John Wallis w dziele Treatise of Algebra (1685)[2].

Niemożliwe jest, aby dowolna wielkość (...) była ujemna. Nie jest bowiem możliwe, aby wielkość była mniejsza od niczego, czy aby liczba była mniejsza niż nic. Jednakże założenie o wielkościach ujemnych, gdy tylko poprawnie rozumiane, nie jest ani absurdalne, ani nieużyteczne. (...)

Dla przykładu przyjmijmy, że mężczyzna przesunął się do przodu (z A do B) o 5 jardów, a następnie cofnął się (z B do C) o 2 jardy. Wówczas na pytanie, o ile się przesunął (w całym tym marszu), gdy znalazł się w C, albo o ile jardów przesunął się w stosunku do A, odpowiem (odejmując 2 od 5), że przesunął się o 3 jardy (bo ).

Wallis2.png

Gdy jednak przesunie się o 5 jardów do B, a następnie cofnie o 8 jardów do D i wtedy zapytamy, o ile się przesunął z A, gdy znalazł się w D, to odpowiem, że o -3 jardy (ponieważ ), to znaczy przesunął się w lewo o 3 jardy mniej niż nic. (...) W rezultacie -3 dobrze definiuje punkt C; przy czym nie do przodu, jak się spodziewano, ale do tyłu względem A. Zatem +3 oznacza 3 jardy do przodu, a -3 oznacza 3 jardy do tyłu, ciągle jednak na tej samej linii prostej.

[6] - tłumaczenie: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka

Wallis do zobrazowania swojego rozumowania posłużył się osią liczbową (w cytacie powyżej znajduje się skan rysunku z oryginalnej pracy Wallisa z 1685). Fragment ten jest cenny również dlatego, że zawiera prawdopodobnie pierwsze w historii matematyki przedstawienie osi liczbowej[7].

Uwagi

  1. quantité
  2. valeurs

Przypisy

  1. a b c d e f g h i j k Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.206
  2. a b c d e f Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.291
  3. Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.146-165
  4. a b Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.372
  5. Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.290
  6. John Wallis, Treatise of Algebra, Oxford 1685
  7. Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN UNIWERSITAS, Kraków 2015, ISBN 978-83-242-2759-4, s.292