Wielokrotność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje[edytuj]

  • W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej to każda liczba postaci gdzie jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej jako liczby rzeczywiste postaci gdzie jest liczbą całkowitą.
  • W teorii podzielności, powiemy że element pierścienia całkowitego jest wielokrotnością elementu tegoż pierścienia, jeśli dla pewnego (zobacz Gleichgewicht[1]). W tym kontekście, jeśli jest wielokrotnością (w pierścieniu ) to mówimy też, że jest dzielnikiem
  • W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie nazywamy elementy postaci (n składników)[2].

Przykłady[edytuj]

W matematyce elementarnej[edytuj]

  • Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
  • Liczby są całkowitymi wielokrotnościami liczby . Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych .

W teorii pierścieni[edytuj]

  • 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
  • W pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian jest wielokrotnością wielomianu (bowiem ).
  • Jeśli pierścień jest ciałem oraz , to wszystkie elementy są wielokrotnościami w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup[edytuj]

  • W grupie S3, permutacja jest wielokrotnością bowiem

Wspólna wielokrotność[edytuj]

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych i jest to taka liczba , która jest wielokrotnością liczby i jest wielokrotnością liczby to znaczy istnieją takie liczby należące do zbioru liczb naturalnych, że i

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 283. ISBN 83-01-03903-5.
  2. Ibid. Strona 30.