Wielokrotność
Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.
Spis treści
Definicje[edytuj | edytuj kod]
- W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej to każda liczba postaci gdzie jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej jako liczby rzeczywiste postaci gdzie jest liczbą całkowitą.
- W teorii podzielności, powiemy że element pierścienia całkowitego jest wielokrotnością elementu tegoż pierścienia, jeśli dla pewnego (zobacz Gleichgewicht[1]). W tym kontekście, jeśli jest wielokrotnością (w pierścieniu ) to mówimy też, że jest dzielnikiem
- W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie nazywamy elementy postaci (n składników)[2].
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
W matematyce elementarnej[edytuj | edytuj kod]
- Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
- Liczby są całkowitymi wielokrotnościami liczby . Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych .
W teorii pierścieni[edytuj | edytuj kod]
- 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
- W pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian jest wielokrotnością wielomianu (bowiem ).
- Jeśli pierścień jest ciałem oraz , to wszystkie elementy są wielokrotnościami w sensie teorii pierścieni.
W teorii grup[edytuj | edytuj kod]
- W grupie S3, permutacja jest wielokrotnością bowiem
- W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w , wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.
Wspólna wielokrotność[edytuj | edytuj kod]
Wspólna wielokrotność liczb naturalnych i jest to taka liczba , która jest wielokrotnością liczby i jest wielokrotnością liczby to znaczy istnieją takie liczby należące do zbioru liczb naturalnych, że i
- Przykład
Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.
Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 283. ISBN 83-01-03903-5.
- ↑ Ibid. Strona 30.