Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje

• W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej $a,$$a,$ to każda liczba $b$$b$ postaci $b=na,$$b=na,$ gdzie $n$$n$ jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej $r$$r$ jako liczby rzeczywiste $s$$s$ postaci $s=kr,$$s=kr,$ gdzie $k$$k$ jest liczbą całkowitą.
• W teorii podzielności, powiemy że element $b$$b$ pierścienia całkowitego $R$$R$ jest wielokrotnością elementu $a$$a$ tegoż pierścienia, jeśli $b=ca$$b=ca$ dla pewnego $c\in R$$c\in R$ (zobacz Gleichgewicht). W tym kontekście, jeśli $b$$b$ jest wielokrotnością $a$$a$ (w pierścieniu $R$$R$) to mówimy też, że $a$$a$ jest dzielnikiem $b.$$b.$
• W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie $(G,+)$$(G,+)$ nazywamy elementy postaci $n\cdot g=g+g+\ldots +g$$n\cdot g=g+g+\ldots +g$ (n składników).

Przykłady

W matematyce elementarnej

• Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
• Liczby $\pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi$$\pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi$$\pi$. Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $\pi$$\pi$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $({\mathbb {R} },+,0)$$({\mathbb {R} },+,0)$.

W teorii pierścieni

• 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
• W pierścieniu ${\mathbb {C} }[x]$${\mathbb {C} }[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x^{2}+1$$x^{2}+1$ jest wielokrotnością wielomianu $x+i$$x+i$ (bowiem $x^{2}+1=(x+i)(x-i)$$x^{2}+1=(x+i)(x-i)$).
• Jeśli pierścień $R$$R$ jest ciałem oraz $a\in R\setminus \{0\}$$a\in R\setminus \{0\}$, to wszystkie elementy $R$$R$ są wielokrotnościami $a$$a$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

• W grupie S₃, permutacja ${\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$ jest wielokrotnością ${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}$ bowiem

${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$

• W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w $({\mathbb {Z} }_{25},+)$$({\mathbb {Z} }_{25},+)$, wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $x$$x$ i $y$$y$ jest to taka liczba $z$$z$, która jest wielokrotnością liczby $x$$x$ i jest wielokrotnością liczby $y,$$y,$ to znaczy istnieją takie liczby $k,l$$k,l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx\;$$z=kx\;$ i $z=ly.\;$$z=ly.\;$

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

$12=4\cdot 3=6\cdot 2,$$12=4\cdot 3=6\cdot 2,$

$24=4\cdot 6=6\cdot 4.$$24=4\cdot 6=6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

• podwielokrotność