Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje

• W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej $a,$ to każda liczba $b$ postaci $b=na,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej $r$ jako liczby rzeczywiste $s$ postaci $s=kr,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
• W teorii podzielności, powiemy że element $b$ pierścienia całkowitego $R$ jest wielokrotnością elementu $a$ tegoż pierścienia, jeśli $b=ca$ dla pewnego $c\in R$ (zobacz Gleichgewicht). W tym kontekście, jeśli $b$ jest wielokrotnością $a$ (w pierścieniu $R$) to mówimy też, że $a$ jest dzielnikiem $b.$
• W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie $(G,+)$ nazywamy elementy postaci $n\cdot g=g+g+\ldots +g$ (n składników).

Przykłady

W matematyce elementarnej

• Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
• Liczby $\pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi$. Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $\pi$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $({\mathbb {R} },+,0)$.

W teorii pierścieni

• 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
• W pierścieniu ${\mathbb {C} }[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x^{2}+1$ jest wielokrotnością wielomianu $x+i$ (bowiem $x^{2}+1=(x+i)(x-i)$).
• Jeśli pierścień $R$ jest ciałem oraz $a\in R\setminus \{0\}$, to wszystkie elementy $R$ są wielokrotnościami $a$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

• W grupie S₃, permutacja ${\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$ jest wielokrotnością ${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}$ bowiem

${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$

• W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w $({\mathbb {Z} }_{25},+)$, wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $x$ i $y$ jest to taka liczba $z$, która jest wielokrotnością liczby $x$ i jest wielokrotnością liczby $y,$ to znaczy istnieją takie liczby $k,l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx\;$ i $z=ly.\;$

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

$12=4\cdot 3=6\cdot 2,$

$24=4\cdot 6=6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

• podwielokrotność