Wielomian stabilny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomian stabilny – wielomian, który spełnia jeden z poniższych warunków:

Pierwszy z warunków definiuje stabilność Hurwitza lub stabilność czasu ciągłego. Drugi z warunków definiuje stabilność Schura lub stabilność czasu dyskretnego.

Wielomiany stabilne pojawiają się w wielu gałęziach matematyki, na przykład w równaniach różniczkowych i w teorii sterowania. Istotnie, układ liniowy, stacjonarny (ang. LTI, Linear Time Invariant) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy ograniczone wejścia dają na wyjściu ograniczone wyjścia. Równoważne jest to wymaganiu by mianownik transmitancji operatorowej (dla której można wykazać, że jest wymierna) był stabilny. W przypadku układów czasu ciągłego wymagane jest by mianownik był stabilny w sensie Hurwitza a w przypadku układów czasu dyskretnego stabilny w sensie Schura.

Stabilne wielomiany nazywa się czasami odpowiednio wielomianami Hurwitza (zob. też macierz Hurwitza) lub wielomianami Schura.

Własności[edytuj]

  • Twierdzenie Routha-Hurwitza podaje algorytm pozwalający na określenie czy dany wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Aby sprawdzić czy dany wielomian (stopnia ) jest stabilny w sensie Schura, wystarczy zastosować to twierdzenie do przekształconego wielomianu: Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle Q(z)=(z-1)^d P\left({{z+1}\over{z-1}}\right)} otrzymanego w wyniku przekształcenia Möbiusa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle z \mapsto {{z+1}\over{z-1}}} , które przekształca lewą półpłaszczyznę na koło o okręgu jednostkowym (zob. też metoda Tustina). Wielomian Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): P\, jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Warunek konieczny: stabilny wielomian Hurwitza (o współczynnikach rzeczywistych) ma współczynniki tego samego znaku (albo wszystkie dodatnie albo wszystkie ujemne).
  • Warunek wystarczający: wielomian z rzeczywistymi współczynnikami takimi, że:
jest stabilny w sensie Schura.
  • Zasada iloczynu: dwa wielomiany Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f\, i są stabilne (w tym samym sensie) wtedy i tylko wtedy jeśli ich iloczyn Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle fg\,} jest również stabilny.

Przykłady[edytuj]

  • jest stabilny w sensie Schura ponieważ spełnia warunek wystarczający
  • jest stabilny w sensie Schura (ponieważ wszystkie jego pierwiastki równe są ) ale nie spełnia on warunku wystarczającego
  • nie jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle -1, 2\,} ) ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
  • jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to )
  • Wielomian (ze współczynnikami dodatnimi) nie jest ani stabilny w sensie Hurwitza ani stabilny w sensie Schura. Jego pierwiastki to cztery pierwotne piąte pierwiastki z jedynki:

Należy przy tym zauważyć, że:

.

Jest to więc przypadek graniczny stabilności w sensie Schura ponieważ pierwiastki wielomianu leżą na okręgu jednostkowym. Przykład ten pokazuje również, że warunki konieczne (dodatniość) określone powyżej dla stabilności w sensie Hurwitza nie są wystarczające.

Zobacz też[edytuj]