Wielomian stabilny

Wielomian stabilny – wielomian, który spełnia jeden z poniższych warunków:

• wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie lub
• wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartym kole jednostkowym (zob też. okrąg jednostkowy).

Pierwszy z warunków definiuje stabilność Hurwitza lub stabilność czasu ciągłego. Drugi z warunków definiuje stabilność Schura lub stabilność czasu dyskretnego.

Wielomiany stabilne pojawiają się w wielu gałęziach matematyki, na przykład w równaniach różniczkowych i w teorii sterowania. Istotnie, układ liniowy, stacjonarny (ang. LTI, Linear Time Invariant) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy ograniczone wejścia dają na wyjściu ograniczone wyjścia. Równoważne jest to wymaganiu by mianownik transmitancji operatorowej (dla której można wykazać, że jest wymierna) był stabilny. W przypadku układów czasu ciągłego wymagane jest by mianownik był stabilny w sensie Hurwitza, a w przypadku układów czasu dyskretnego stabilny w sensie Schura.

Stabilne wielomiany nazywa się czasami odpowiednio wielomianami Hurwitza (zob. też macierz Hurwitza) lub wielomianami Schura.

Własności

• Twierdzenie Routha-Hurwitza podaje algorytm pozwalający na określenie czy dany wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
• Aby sprawdzić czy dany wielomian $P$ (stopnia $d$) jest stabilny w sensie Schura, wystarczy zastosować to twierdzenie do przekształconego wielomianu: $Q(z)=(z-1)^{d}P\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)$ otrzymanego w wyniku przekształcenia Möbiusa $z\mapsto {\frac {z+1}{z-1}},$ które przekształca lewą półpłaszczyznę na koło o okręgu jednostkowym (zob. też metoda Tustina). Wielomian $P$ jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $Q$ jest stabilny w sensie Hurwitza.

• Warunek konieczny: stabilny wielomian Hurwitza (o współczynnikach rzeczywistych) ma współczynniki tego samego znaku (albo wszystkie dodatnie albo wszystkie ujemne).

• Warunek wystarczający: wielomian $f(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{n}z^{n}$ z rzeczywistymi współczynnikami takimi, że:

$a_{n}>a_{n-1}>\ldots >a_{0}>0$ jest stabilny w sensie Schura.

• Zasada iloczynu: dwa wielomiany $f$ i $g$ są stabilne (w tym samym sensie) wtedy i tylko wtedy jeśli ich iloczyn $fg$ jest również stabilny.

Przykłady

• $4z^{3}+3z^{2}+2z+1$ jest stabilny w sensie Schura ponieważ spełnia warunek wystarczający
• $z^{10}$ jest stabilny w sensie Schura (ponieważ wszystkie jego pierwiastki równe są $0$), ale nie spełnia on warunku wystarczającego
• $z^{2}-z-2$ nie jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to $1,-2$) ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
• $z^{2}+3z+2$ jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to $-1,-2$)
• Wielomian $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1$ (ze współczynnikami dodatnimi) nie jest ani stabilny w sensie Hurwitza ani stabilny w sensie Schura. Jego pierwiastki to cztery pierwotne piąte pierwiastki z jedynki:

$z_{k}=\cos \left({\frac {2\pi k}{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{5}}\right),\,k=1,\dots ,4.$

Należy przy tym zauważyć, że:

$\cos({{2\pi }/5})={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}>0.$

Jest to więc przypadek graniczny stabilności w sensie Schura ponieważ pierwiastki wielomianu leżą na okręgu jednostkowym. Przykład ten pokazuje również, że warunki konieczne (dodatniość) określone powyżej dla stabilności w sensie Hurwitza nie są wystarczające.

Zobacz też

• stabilność układu automatycznej regulacji
• Adolf Hurwitz
• Issai Schur