Wielomian stabilny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomian stabilny – wielomian, który spełnia jeden z poniższych warunków:

Pierwszy z warunków definiuje stabilność Hurwitza lub stabilność czasu ciągłego. Drugi z warunków definiuje stabilność Schura lub stabilność czasu dyskretnego.

Wielomiany stabilne pojawiają się w wielu gałęziach matematyki, na przykład w równaniach różniczkowych i w teorii sterowania. Istotnie, układ liniowy, stacjonarny (ang. LTI, Linear Time Invariant) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy ograniczone wejścia dają na wyjściu ograniczone wyjścia. Równoważne jest to wymaganiu by mianownik transmitancji operatorowej (dla której można wykazać, że jest wymierna) był stabilny. W przypadku układów czasu ciągłego wymagane jest by mianownik był stabilny w sensie Hurwitza a w przypadku układów czasu dyskretnego stabilny w sensie Schura.

Stabilne wielomiany nazywa się czasami odpowiednio wielomianami Hurwitza (zob. też macierz Hurwitza) lub wielomianami Schura.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie Routha-Hurwitza podaje algorytm pozwalający na określenie czy dany wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Aby sprawdzić czy dany wielomian P\, (stopnia d\,) jest stabilny w sensie Schura, wystarczy zastosować to twierdzenie do przekształconego wielomianu:  Q(z)=(z-1)^d P\left({{z+1}\over{z-1}}\right) otrzymanego w wyniku przekształcenia Möbiusa z \mapsto {{z+1}\over{z-1}}, które przekształca lewą półpłaszczyznę na koło o okręgu jednostkowym (zob. też metoda Tustina). Wielomian P\, jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy gdy wielomian Q\, jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Warunek konieczny: stabilny wielomian Hurwitza (o współczynnikach rzeczywistych) ma współczynniki tego samego znaku (albo wszystkie dodatnie albo wszystkie ujemne).
  • Warunek wystarczający: wielomian  f(z)=a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n z rzeczywistymi współczynnikami takimi, że:
 a_n>a_{n-1}>\cdots>a_0>0 jest stabilny w sensie Schura.
  • Zasada iloczynu: dwa wielomiany f\, i g\, są stabilne (w tym samym sensie) wtedy i tylko wtedy jeśli ich iloczyn fg\, jest również stabilny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  •  4z^3+3z^2+2z+1 \, jest stabilny w sensie Schura ponieważ spełnia warunek wystarczający
  •  z^{10}\, jest stabilny w sensie Schura (ponieważ wszystkie jego pierwiastki równe są 0\,) ale nie spełnia on warunku wystarczającego
  •  z^2-z-2\, nie jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to -1, 2\,) ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
  •  z^2+3z+2\, jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to -1, -2\,)
  • Wielomian  z^4+z^3+z^2+z+1\, (ze współczynnikami dodatnimi) nie jest ani stabilny w sensie Hurwitza ani stabilny w sensie Schura. Jego pierwiastki to cztery pierwotne piąte pierwiastki z jedynki:
 z_k=\cos\left({{2\pi k}\over 5}\right)+i \sin\left({{2\pi k}\over 5}\right), \, k=1, \ldots, 4 \ .

Należy przy tym zauważyć, że:

 \cos({{2\pi}/5})={{\sqrt{5}-1}\over 4}>0.

Jest to więc przypadek graniczny stabilności w sensie Schura ponieważ pierwiastki wielomianu leżą na okręgu jednostkowym. Przykład ten pokazuje również, że warunki konieczne (dodatniość) określone powyżej dla stabilności w sensie Hurwitza nie są wystarczające.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]