Wielomian symetryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomian symetrycznywielomian , który po dowolnej permutacji zmiennych dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie dowolnym wielomianem zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji zbioru -elementowego:

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian . Jeżeli:

dla dowolnej permutacji , to nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Przykłady wielomianów symetrycznych[edytuj]

Następujące wielomiany są symetryczne:

Każdy jednomian postaci , gdzie jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne[edytuj]

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian jest różny od wielomianu (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację

Otrzymujemy wielomian

.

Współczynnik przy wynosi 1 dla ,  ale 0 dla .  Zatem ,  więc wielomian nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe[edytuj]

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

gdzie .

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian taki, że

.

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formnalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie  Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)
jest izomorfizmem algebry wielomianowej na algebrę wielomianów symetrycznych  (gdzie oznacza ciało współczynników).

Uwaga  Po lewej stronie powyższego przyporządkowania jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych .

Przykłady:

,
,
.

Wielomiany symetryczne a Wzory Viète’a[edytuj]

Jeżeli wielomian   (gdzie )  ma pierwiastków , to zachodzą wzory Viète’a:

Uwaga  Każdy wielomian stopnia n,  nad ciałem k,  ma n  pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem K, będącym rozszerzeniem ciała k (ale na ogół wielomian ten nie ma n   pierwiastków nad samym ciałem k).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie  Niech będą pierwiastkami wielomianu f,  stopnia n, nad ciałem k  (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała k).  Niech F   będzie wielomianem symetrycznym stopnia n,   nad tym samym ciałem k (może być nad mniejszym). Wtedy

Linki zewnętrzne[edytuj]