Wielomian symetryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomian symetrycznywielomian który po dowolnej permutacji zmiennych dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym wielomianem zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji zbioru -elementowego:

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian Jeżeli:

dla dowolnej permutacji to nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Przykłady wielomianów symetrycznych[edytuj | edytuj kod]

Następujące wielomiany są symetryczne:

Każdy jednomian postaci gdzie jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian jest różny od wielomianu (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację

Otrzymujemy wielomian

Współczynnik przy wynosi 1 dla ale 0 dla Zatem więc wielomian nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe[edytuj | edytuj kod]

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

gdzie

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian taki, że

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formnalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

jest izomorfizmem algebry wielomianowej na algebrę wielomianów symetrycznych (gdzie oznacza ciało współczynników).

Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych

Przykłady:

Wielomiany symetryczne a Wzory Viète’a[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wielomian (gdzie ) ma pierwiastków to zachodzą wzory Viète’a:

Uwaga. Każdy wielomian stopnia n, nad ciałem k, ma n pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem K, będącym rozszerzeniem ciała k (ale na ogół wielomian ten nie ma n pierwiastków nad samym ciałem k).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie. Niech będą pierwiastkami wielomianu f, stopnia n, nad ciałem k (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała k). Niech F będzie wielomianem symetrycznym stopnia n, nad tym samym ciałem k (może być nad mniejszym). Wtedy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]